Question 1) Montrer que {\Phi_p} est irréductible sur {\mathbb{Q}}.

Question 2) Si {Q(\zeta)=R(\zeta)} avec {Q,R\in\mathbb{Q}[X]}, montrer que {\Phi_p\mid Q-R}.

Question 3) Montrer que {\mathbb{Q}[\zeta]=\left\{P(\zeta):P\in\mathbb{Q}_{p-1}[X]\right\}} est un corps.

Question 4) En déduire {Q(\zeta^k)=R(\zeta^k)} pour {p\nmid k}.

Question 5) Montrer que l’inverse d’une matrice circulante rationnelle inversible, de première ligne {(a_0,\ldots,a_{p-1})} et de deuxième ligne {(a_{p-1},a_0,\ldots,a_{p-2})}, est circulante.

Pour un corps {K} et {(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n}, à quelle condition existe-t-il un idempotent {M\in M_n(K)} de diagonale {(\lambda_i)} ?

Soient {T_n} le groupe des matrices diagonales unitaires, {\mathcal S_n} les matrices de permutation et {N_n=\left\{AB:A\in T_n,B\in\mathcal S_n\right\}}.

Montrer que {N_n} est un groupe et que son bicommutant est {M_n(\mathbb{C})}.

Pour {A,B\in S_n(\mathbb{R})} et {k\geq1}, montrer {\operatorname{tr}((AB)^{2^k})\leq\operatorname{tr}((A^2B^2)^{2^{k-1}}).}

Question 1) {f(H)\geq0} pour toute hermitienne positive {H} ;

Question 2) {f(H)>0} pour toute hermitienne définie positive {H}.

Pour {A,B\in M_d(\mathbb{C})}, montrer {(e^{A/n}e^{B/n})^n\to e^{A+B}}.

Montrer que {S\mapsto\operatorname{tr}(e^S)} est convexe sur {S_n(\mathbb{R})}.

Question a) Calculer {|\mathrm{GL}_{n-1}(\mathbb{F}_p)|}.

Question b) Montrer que {n} divise ce cardinal.

Question c) Montrer que cette divisibilité reste vraie pour {p} impair composé, en travaillant dans {\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}.

Soit {f:[0,1]\to\mathbb{R}} continue et {A_n} la matrice symétrique tridiagonale de diagonale nulle, avec {(A_n)_{k,k+1}=(A_n)_{k+1,k}=f(k/n)}.

Pour {q\ge1}, déterminer la limite de {\operatorname{tr}(A_n^q)}.

Soit {\mathbb{K}} un sous-corps de {\mathbb{C}}.

Que dire de {f\in L(E)} si {(x,f(x))} est liée pour tout {x\in E} ?

Si {A\in M_n(\mathbb{K})} a une trace nulle, montrer qu’elle est semblable à une matrice dont toute la diagonale est nulle.

Soient {1\le r\le n}, {k\ge0}, {r+k\le n} et {M=\begin{pmatrix}A&B\\[4pt]C&D\end{pmatrix}\in M_n(\mathbb{C})}, avec {A\in GL_r(\mathbb{C})}.

Montrer {\operatorname{rg}M=r+k} si et seulement si {\operatorname{rg}(D-CA^{-1}B)=k}.

Soient {n\ge2}, {e_1} le premier vecteur canonique et {\mathcal A} l’ensemble des matrices {M\in M_n(\mathbb{R})} telles que, pour tout {v}, {M^kv\to a_{v,M}e_1}, l’application {v\mapsto a_{v,M}} n’étant pas identiquement nulle.

Montrer que, pour {v} fixé, {M\mapsto a_{v,M}} est continue sur {\mathcal A}.

Question a) Pour {r\ge1} et {F_1,\ldots,F_r\in\mathbb{C}(X)}, soit {M_r=(F_j^{(i-1)})_{1\le i,j\le r}}.

Montrer que la famille est liée si et seulement si {M_r} n’est pas inversible.

Question b) Pour {A\in M_n(\mathbb{C}(X))}, on note {A^{(p)}} la matrice des dérivées d’ordre {p} de ses coefficients.

Montrer que les {A^{(p)}} commutent deux à deux si et seulement si {A=\sum\limits_{j=1}^rF_jC_j}, avec {F_j\in\mathbb{C}(X)} et {C_j\in M_n(\mathbb{C})} commutant deux à deux.

1) Montrer que {A} est inversible.

2) Montrer que {A^{-1}} est à coefficients positifs ou nuls.

1) Montrer que les éléments de {S} sont de trace nulle.

2) Montrer la stabilité de {S} par multiplication scalaire.

3) Montrer sa stabilité par similitude.

4) Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.

5) Pour {D=\operatorname{diag}(1,\ldots,n)} et {\mathcal N} l’espace des matrices de diagonale nulle, montrer que {M\mapsto[D,M]} est un automorphisme de {\mathcal N}.

6) Montrer que {\mathcal N=S}.

1) Montrer la linéarité et donner sa matrice {A}.

2) Calculer {\overline A^tA} et déterminer {F^{-1}}.

3) Montrer que {\lVert F(v)\rVert_2=\sqrt n\lVert v\rVert_2}.

a) Soit {A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{R})} avec {a_{ii}=2}, {a_{ij}=-1} si {|i-j|=1}, et {a_{ij}=0} si {|i-j|\ge2}.

i) Montrer que {Ax\ge0} implique {x\ge0}, ces inégalités étant coordonnées par coordonnées.

ii) En déduire que {A} est inversible.

b) Soit {A} telle que {|a_{ii}|>\sum\limits_{j\ne i}|a_{ij}|} pour tout {i}.

i) Montrer que {A} est inversible.

ii) Posons {e_{ij}=a_{ij}} si {j\ge i}, et {0} sinon ; {f_{ij}=-a_{ij}} si {j\lt i}, et {0} sinon.

Montrer que {Ev=Fu} implique {\lVert v\rVert_\infty\le\lVert u\rVert_\infty}.

iii) Montrer qu’il existe {k\in]0,1[} tel que {Ev=Fu} implique {\lVert v\rVert_\infty\le k\lVert u\rVert_\infty}.

iv) Pour {b,x_0\in\mathbb{R}^n}, montrer que {Ex_{k+1}=Fx_k+b} définit une suite convergente et déterminer sa limite.

Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb{C})}.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe {B} telle que {B^k\to A} lorsque {k\to\infty}.

1) Déterminer un {\varepsilon>0} tel que {N(A-U)\le\varepsilon} pour une matrice orthogonale {U} implique l’inversibilité de {A}.

2) Même question si l’on remplace le groupe orthogonal par {\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})}.

a) Si {A+iB} est inversible sur {\mathbb{C}}, montrer qu’il existe {t\in\mathbb{R}} tel que {A+tB} soit inversible sur {\mathbb{R}}.

b) Si {A} et {B} sont semblables sur {\mathbb{C}}, montrer qu’elles sont semblables sur {\mathbb{R}}.

Quel est le nombre maximal de coefficients égaux à {1} dans une matrice inversible de {M_n(\mathbb{R})} à coefficients dans {\left\{0,1\right\}} ?

Pour {A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{R})}, montrer {\operatorname{tr}(A^2)\le\sum\limits_{i,j}a_{ij}^2} et caractériser l’égalité.

Soient {D=\operatorname{diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)} et {F=E_{1n}}.

Calculer {(D+F)^k} pour {k\in\mathbb{N}}.

Soit {\varphi:M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}} linéaire telle que {\varphi(AB)=\varphi(BA)} pour toutes matrices {A,B}.

Montrer qu’il existe {\beta\in\mathbb{R}} tel que {\varphi=\beta\operatorname{tr}}.

Pour {A_1,\ldots,A_n\in M_n(\mathbb{R})}, existe-t-il nécessairement des signes {\varepsilon_i\in\left\{-1,1\right\}} tels que {\operatorname{tr}\left(\left(\sum_{i=1}^n\varepsilon_iA_i\right)^2\right) \ge\sum_{i=1}^n\operatorname{tr}(A_i^2)\ ?}

Soient {A,B\in S_2(\mathbb{R})} et {C\in M_2(\mathbb{R})}.

Pour {[X,Y]=XY-YX}, montrer {[[A,B]^2,C]=0}.