Calcul asymptotique — ENS

Exercices corrigés des ENS sur le thème « calcul asymptotique », regroupés par filière.

MP–MPI

Exercice 1. (★★★★) Domination et négligeabilité ; Équivalents ; Coefficients binomiaux

Question a) Montrer que

{\binom{i+j}{i}}

croît strictement en chacune des deux variables, l’autre étant fixée.

Pour ${r\ge1}$ , poser ${N_r=\#\left\{(k,n)\in(\mathbb{N}^\star)^2:\binom nk=r\right\},\qquad b(r)=\min\left\{j\ge0:\binom{2j}{j}>r\right\}.}$

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Question b) Montrer que

{N_r\le2b(r)}

{b(r)=O(\log r)}

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Question c) Montrer que

{r^{-1}\sum\limits_{i=2}^rN_i\to2}

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Exercice 2. (★★★) Équivalents ; Double comptage ; Partie entière

Question a) Montrer que, pour

{n\ge2}

{\sum\limits_{k=2}^n\lfloor\log_k n\rfloor =\sum\limits_{j=2}^n\lfloor n^{1/j}\rfloor}

Question b) Donner un équivalent de cette quantité.

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PSI

Exercice 1. (★★★★) Comparaison série-intégrale ; sommes de Riemann ; développements asymptotiques

Pour

{n\ge1}

, posons

{H_n=\sum\limits_{k=1}^n1/k}

{S_n=\sum\limits_{p,q=1}^npq/(p+q)}

a) Montrer que

{H_n-\ln(n+1)}

converge ; on note

{\gamma}

sa limite.

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b) Déterminer un équivalent de

{S_n}

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c) Donner un développement asymptotique à deux termes de

{S_n}

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PC

Exercice 1. (★★) Formule de Stirling ; Partie entière ; Développements asymptotiques

Pour

{n\in\mathbb{N}}

, soit

{a_n}

le nombre de chiffres décimaux de

{n!}

Donner un développement limité à trois termes de ${a_n}$ .

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Exercice 2. (★★★★) Comparaison série-intégrale ; Équivalents ; Développements asymptotiques

Pour

{n\ge1}

, soit

{u_n=\sum\limits_{k=1}^n(\ln k)/k}

1) Donner un équivalent

{a_n}

2) Montrer que ${u_n-a_n}$ converge vers un réel noté ${\gamma}$ .

3) Donner un développement asymptotique à trois termes de ${u_n}$ .

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Exercice 3. (★★★★) Développements asymptotiques ; Comparaison somme-intégrale ; Équivalents

Pour

{n\ge1}

, poser

{u_n=(\prod\limits_{k=n}^{2n}k^k)^{1/n}}

a) Déterminer un équivalent de

{\ln u_n}

b) Déterminer un équivalent de ${u_n}$ .

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Exercice 4. (★★★) Intégration sur un intervalle quelconque ; Convergence dominée ; Taylor-Young

Soit

{f\in C^k(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})}

telle que

{f^{(k)}}

est bornée.

Poser ${F(\lambda)=\int_0^\infty e^{-\lambda t}f(t)dt}$ , ${\lambda>0}$ .

Déterminer un développement asymptotique en ${+\infty}$ .

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Exercice 5. (★★★) Taylor-Young ; domination et négligeabilité ; développements limités

Déterminer les fonctions

{f\in C^2(\mathbb{R},\mathbb{R})}

telles que

{f(7x+1)=49f(x)}

pour tout

{x\in\mathbb{R}}

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Exercice 6. (★★★) Taylor-Young ; équivalents ; extremums

Soit

{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}

de classe

{C^2}

telle que

{f(x)\to0}

lorsque

{x\to\pm\infty}

. Pour

{t\ge0}

, on pose

{\lambda(t)=\max_{x\in\mathbb{R}}|f(x)|e^{-tx^2}}

1) Si

{f(0)\ne0}

, déterminer la limite de

{\lambda(t)}

{+\infty}

2) Si ${f(0)=0}$ et ${f'(0)\ne0}$ , donner un équivalent de ${\lambda(t)}$ .

3) Même question si ${f}$ est ${C^\infty}$ , ${f(0)=\cdots=f^{(k-1)}(0)=0}$ et ${f^{(k)}(0)\ne0}$ .

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Exercice 7. (★★★★★) Cauchy-Schwarz ; formule de Stirling ; sommes de Riemann

Encadrer et donner un équivalent en

{+\infty}

{S(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{\sqrt{k!}}.}

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Exercice 8. (★★★) partie entière ; développements limités ; fonctions circulaires et réciproques

Soit

{\varepsilon\in]0,1[}

{n=\lfloor1/\varepsilon\rfloor}

. On trace les cercles de rayon

{1}

et de centres

{(k\varepsilon,-1)}

pour

{0\le k\le n}

Donner un développement limité de la somme des longueurs des arcs de cercle représentés sur la figure, entre les abscisses ${0}$ et ${1}$ . Les arcs représentés forment l’enveloppe supérieure des cercles.

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