Pour {n\geq1}, soit {p(n)} le nombre de listes {(k_1,\ldots,k_N)} d’entiers strictement positifs, de longueur quelconque, de somme {n}, et {p(0)=1}.

Montrer {\sum\limits_{n\geq0}p(n)z^n=\prod\limits_{k\geq1}(1-z^k)^{-1}} pour {|z|\lt 1}.

Question 1) Si les coefficients sont finalement égaux, a-t-on {C=D} ?

Question 2) Montrer {C=D} si {0\lt a\lt 1}.

Question 3) Donner un exemple distinct pour {a>1}.

Question 4) Si {a>1} et {c_k\lt r^{k^2}}, {d_k\lt r^{k^2}} pour un {0\lt r\lt 1}, montrer {C=D}.

Pour {-1\leq x\lt 1}, poser {L(x)=-\int_0^x\ln(1-t)/t\,dt}.

Justifier sa définition et son prolongement en {1}, donner sa série entière et son rayon, calculer {L(1)}, exprimer {\sum\limits_{n\geq1}1/(2^nn^2)} et {L(x)+L(-x)}, puis en tirer une conséquence.

Question 1) Donner le rayon de {\sum\limits_{n\geq1}a_nz^n/n}.

Question 2) Donner la limite de {\bigl(\sum\limits a_nt^n/n\bigr)/\ln(1-t)} quand {t\uparrow1}.

Question 3) Poser {b_n=\sum\limits_{k=1}^na_k} et supposer maintenant {\sum\limits a_n} convergente.

Donner les rayons de {G(z)=\sum\limits a_nz^n/n!} et {H(z)=\sum\limits b_nz^n/n!}.

Question 4) Exprimer {G'} à l’aide de {H,H'}.

Question 5) Exprimer {\int_0^\infty G(x)e^{-x}\,dx} en fonction de {\sum\limits a_n}.

Soit {P=X^n+\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_jX^j=\prod\limits_{i=1}^n(X-z_i)} et {S_k=\sum\limits_i z_i^k}.

Montrer que, pour {k>n}, {S_k+a_{n-1}S_{k-1}+\cdots+a_0S_{k-n}=0}, et, pour {1\le k\le n}, {S_k+a_{n-1}S_{k-1}+\cdots+a_{n-k+1}S_1=-ka_{n-k}}.

Question a) Montrer que {(w_n)} décroît.

Question b) Relier {w_{n+2}} et {w_n}.

Question c) Sans Stirling, donner un équivalent de {w_n}.

Question d) Déterminer le rayon de {\sum\limits w_nx^n}.

Soient {p,q\ge2} premiers entre eux.

Développer {f(z)=(1-z^{pq})/((1-z^p)(1-z^q))} en série entière pour {|z|\lt 1} et trouver le plus grand indice de coefficient nul.

Si {f,g} sont développables en série entière sur {(-R,R)}, {R>0}, et {\int_0^xf(t)g(x-t)\,dt=0} pour tout {x}, montrer que l’une des deux est identiquement nulle.

Question a) Déterminer les rayons de convergence.

Question b) Sur le cercle unité, où la série de {f} converge-t-elle ?

Question c) Prolonger {f} analytiquement sur {\mathbb{C}\setminus\left\{1\right\}}.

Question d) Montrer que {g(r)\to\infty} lorsque {r\uparrow1}.

Question e) Montrer que {g(z^2)=g(z)-z}.

Question f) Si {\alpha^{2^m}=1}, montrer que {|g(r\alpha)|\to\infty}.

Question g) Montrer que {h(z)=\sum\limits_{n\ge0}z^{2^n+1}/(2^n+1)} est continue sur le disque unité ouvert.

Question h) Montrer qu’aucun prolongement de {h} à un voisinage d’un point du cercle unité ne peut y être développable en série entière.

Question a) Déterminer le rayon de {f(z)=\sum\limits_{n\ge1}u_nz^n}.

Question b) Expliciter {f} pour {\alpha_i=-\delta_{i1}}.

Question c) Pour {\Delta g=zg'}, calculer {P(\Delta)(z^k)}.

Question d) Si {v_{n+1}=v_n/P(n+1)}, avec {P} sans racine dans {\mathbb{N}^\star}, montrer que {\sum\limits v_nz^n} a un rayon positif et donner une équation différentielle polynomiale non triviale.

Question e) Même question pour {v_{n+1}=Q(n+1)v_n/P(n+1)}, avec {\deg Q\le\deg P} et {P,Q} sans racine positive entière.

Question f) Appliquer ce cadre aux {u_n} lorsque leur rayon est positif.

Question a) Montrer que {u_n} est entier.

Question b) Déterminer le rayon de {\sum\limits_{n\ge0}u_nx^n}.

Question c) Trouver une équation différentielle satisfaite par sa somme.

Existe-t-il {A\subset\mathbb{N}} tel que {\sum\limits_{n\in A}x^n/n!\sim e^{\sqrt x}} quand {x\to+\infty} ?

Question a) Si {f(z)=\sum\limits a_nz^n} a un rayon {R>0}, montrer que {a_nr^n=(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}\,d\theta} pour {0\lt r\lt R}.

Question b) Si {R=1} et {f} se prolonge continûment au disque fermé, justifier la formule en {r=1}.

Question c) Montrer que {f(x)=(1-x)^{-1/2}\exp(-(1-x)/(1+x))} est développable en série entière près de {0}.

Question d) En admettant que son rayon vaut {1}, montrer que ses coefficients sont bornés et exprimer une borne {M} en fonction de {f}.

Question 1) Pour {p_0,\ldots,p_n\in\left\{-1,1\right\}}, montrer que les racines de {\sum\limits_{i=0}^np_iX^i} sont de module inférieur ou égal à {1}.

Question 2) Soit {(a_k)} réelle non nulle, de série entière de rayon {R>0}. On dit qu’elle change de signe en {j} s’il existe {k\ge1} tel que {a_ja_{j+k}\lt 0} et {a_i=0} pour {j\lt i\lt j+k}.

Montrer que les zéros dans {]0,R[} de {\sum\limits_{k\ge0}a_kx^k} sont en nombre fini, majoré par le nombre de changements de signe.

Question 3) Pour des signes de Rademacher indépendants {A_k}, poser {S_n=\sum\limits_{k=0}^nA_k} et {N_n=|\left\{x\in]0,1[:\sum\limits_{i=0}^nA_ix^i=0\right\}|}.

Montrer que {N_n\le\sum\limits_{0\le k\le(n-1)/2}\mathbf1_{\left\{S_{2k+1}=0\right\}}} et en déduire {\mathbb E(N_n)=O(\sqrt n)}.

Question a) Justifier {f^\star(M)=\sum\limits_{k\ge0}a_kM^k} pour {M\in M_n(\mathbb{C})}.

Question b) Montrer que {f^\star} est continue.

Question c) Si {f} est surjective, montrer que {f^\star} induit une surjection de l’ensemble des matrices diagonalisables sur lui-même.

Question d) Si pour tout {\lambda\in\mathbb{C}} il existe {z} avec {f(z)=\lambda} et {f'(z)\ne0}, montrer que {f^\star} est surjective sur {M_n(\mathbb{C})}.

Question a) Montrer que pour {n\in\mathbb{N}} il existe un unique {L_n\in\mathbb{R}[X]} avec {L_n(1)=1} et {(1-X^2)L_n''-2XL_n'+n(n+1)L_n=0}.

Question b) Montrer que pour {x\in[-1,1]}, {|z|\lt 1}, {\frac1{\sqrt{1-2xz+z^2}}=\sum_{n=0}^{+\infty}L_n(x)z^n.}

Soient {(X_n)_{n\ge0}} des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans {\mathbb{Z}}, telles que {\mathbb{P}(X_n=k)=\mathbb{P}(X_n=-k)=ce^{-|k|}\quad(k\in\mathbb{N}),}où {c} est à déterminer.

Déterminer la loi du rayon de convergence de la série entière aléatoire {\sum\limits_{n\ge0}X_nz^n}.

1) Prouver l’existence d’une solution développable en série entière au voisinage de {0}.

2) Sur {E=\mathcal C([-a,a],\mathbb{R})}, posons {\Phi(f)(x)=\int_0^x(f(t)^2+t^2)\,dt.}Pour {r>0}, montrer que {\Phi} envoie la boule fermée {B(0,r)} dans elle-même si {a>0} est assez petit.

3) Montrer que {|\Phi(f)(x)-\Phi(g)(x)|\le2ar\lVert f-g\rVert_\infty} pour {f,g\in B(0,r)}.

4) Si {h=2ar\lt 1}, montrer que {\lVert \Phi^{n+p}(f)-\Phi^n(f)\rVert_\infty \le\frac{h^n}{1-h}\lVert \Phi(f)-f\rVert_\infty.}

5) En déduire le critère de Cauchy pour ces itérées, uniformément en {p}.

6) En admettant leur convergence, montrer que la limite résout l’équation.

1) Existe-t-il {g:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+} telle que tout polynôme {f} vérifie {f(x)=o(g(x))} en {+\infty} ?

2) Donner le rayon de convergence de {\sum\limits_{n\ge0}n!z^{n^2}}.

3) Même question que a) pour toutes les fonctions développables en série entière sur {\mathbb{R}_+}.

4) Montrer qu’une limite simple sur {\mathbb{R}_+} de polynômes à coefficients positifs ou nuls est analytique sur {\mathbb{R}_+}.

1) Justifier {R\ge1}.

2) Si des séries génératrices {G_{X_n}} convergent simplement sur {]-R,R[} vers {G}, cette limite est-elle nécessairement une série génératrice ?

1) Montrer que {f} est définie sur {\mathbb{R}}.

2) Montrer que {f(x)=o(e^x)} lorsque {x\to+\infty}.

Soit {p_n} le produit des chiffres décimaux de {n} ; par exemple {p_{10}=0}, {p_{45}=20}, {p_{405}=0}.

Déterminer le rayon de convergence de {\sum\limits_{n\ge0}p_nz^n}.

Pour {q\in\left\{1,2,3,4\right\}}, calculer {f_q(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty x^{qn}/(qn)!}, puis {\lim_{x\to\infty}e^{-x}f_q(x)}.

Soit {f} développable en série entière au voisinage de {0}, de rayon {R>1}. Soit {\varphi\in C^0([0,1],\mathbb{R})} et {g(x)=\int_0^1\varphi(y)f(x-y)dy}.

Montrer que {g} est développable en série entière au voisinage de {0}.

b) Le résultat reste-t-il vrai si {J} est infini ?