Question 1) Montrer qu’il existe une unique forme linéaire {L} sur {\mathbb{R}[X]} telle que {L(A_X^n)=1} pour tout {n\geq0}.

Question 2) Calculer {\sum\limits_{k=0}^{\infty}k^n/k!}, en particulier pour {n=3}.

Question 1) Si {a_n,b_n>0} et {a_{n+1}/a_n\leq b_{n+1}/b_n} finalement, comparer les séries.

Question 2) Si {a_{n+1}/a_n=1+\alpha/n+o(1/n)} avec {\alpha>-1}, montrer que {\sum\limits a_n} diverge.

Question 3) Que dire si {\alpha\lt -1} ?

Pour une suite {(a_n)\subset]0,1[}, donner une condition nécessaire et suffisante pour que tout {x\in]0,1[} s’écrive {x=\sum\limits_{n\geq1}a_{\sigma(n)}/2^n} pour une permutation {\sigma} de {\mathbb{N}^\star}.

Soit {(a_n)} positive, décroissante vers {0}, telle que {(a_n-a_{n+1})} soit également décroissante.

Montrer, pour {n\geq0} et {x\in[0,1]}, {\sum_{k=2n}^\infty(-1)^{k+1}a_kx^k\leq x^{2n}\sum_{k=2n}^\infty(-1)^{k+1}a_k.}

Question a) Calculer {\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)}.

Question b) Calculer {\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)}, où {\mu} est la fonction de Möbius.

Question c) Soit {F(x)} le nombre de rationnels de {[0,1]} de dénominateur irréductible au plus {x}.

Montrer que {F(x)=3x^2/\pi^2+O(x\log x)}.

Question a) Expliciter {P_m} de degré {2m} tel que {\sin(nx)=(\sin x)^nP_m(\cot x)}.

Question b) Calculer {\sum\limits_{k=1}^m\cot^2(k\pi/n)}.

Question c) Calculer {\sum\limits_{k=1}^m\sin^{-2}(k\pi/n)}.

Question d) En déduire {\sum\limits_{k\ge1}k^{-2}=\pi^2/6}.

Montrer la convergence et calculer {\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}\left\lfloor\frac{\log k}{\log2}\right\rfloor.}

Soient {v} une suite réelle presque nulle et {u_k\in\ell^2(\mathbb{R})}. Supposer que, pour tout entier {p\ge2}, {\sum\limits_i u_{k,i}^p\to\sum\limits_i v_i^p}.

Montrer que {\inf_{\sigma\in\mathfrak S(\mathbb{N})} \sum_{i\ge0}(u_{k,\sigma(i)}-v_i)^2\longrightarrow0.}

Question a) Montrer que {\sum\limits_{k=1}^n k^{-2}=2B_0/A_0-2B_n/A_n}.

Question b) En déduire la somme de la série et une erreur {O(1/n)}.

Question a) Montrer que {\sum\limits_{d\mid n}\Lambda(d)=\log n}.

Question b) Pour {s>1}, montrer que {(\sum\limits\Lambda(n)n^{-s})(\sum\limits n^{-s})=\sum\limits(\log n)n^{-s}}.

Question c) Montrer que {\sum\limits_p(\log p)p^{-s}=1/(s-1)+O(1)} quand {s\downarrow1}.

Question d) Montrer que {\sum\limits_pp^{-s}=\log(1/(s-1))+O(1)} et conclure.

Question a) Montrer que {\sum\limits_{m\ge1}\widetilde\chi(m)m^{-s}} converge exactement pour {s>0} réel.

Question b) Montrer que sa somme est de classe {C^1} sur {(0,\infty)}.

Soit {f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}} de classe {C^1}, décroissante et de limite nulle. Pour {x>0}, poser {g(x)=\sum\limits_{n\ge0}(-1)^nf(nx)}.

Déterminer {\lim_{x\downarrow0}g(x)}.

Question 1) Pour une suite réelle sommable {(a_n)}, montrer que {x\mapsto\sum\limits_{n\ge0}a_nx_n} est une forme linéaire continue.

Question 2) On suppose qu’il existe {\mathcal F\subset\mathcal P(\mathbb{N})} stable par intersections finies et par passage aux sur-ensembles, ne contenant que des ensembles infinis et telle que, pour toute partie {A}, {A\in\mathcal F} ou {\mathbb{N}\setminus A\in\mathcal F}.

Montrer que tout {x\in\ell^\infty} possède un unique réel {x_\infty} tel que, pour tout {\varepsilon>0}, il existe {A\in\mathcal F} avec {|x_n-x_\infty|\le\varepsilon} pour {n\in A}.

En déduire une forme linéaire continue qui n’est pas du type a).

Question 3) Montrer que toute forme linéaire continue sur {c_0} est du type a).

Question 1) Montrer qu’il existe une unique suite {(n_i)_{i\ge1}} d’entiers strictement positifs telle que {n_{i+1}\ge n_i^2} et {\alpha=\sum\limits_{i\ge1}\ln(1+1/n_i)}.

Question 2) Généraliser ce résultat.

Soit {(a_n)_{n\ge0}} une suite réelle positive et, pour {\alpha>0}, {R_\alpha=\left\{u\in[0,1]^{\mathbb{N}}:\sum\limits_nu_na_n\le\alpha\right\}}.

Pour une suite positive sommable {(b_n)}, construire {v\in R_\alpha} maximisant {\sum\limits_nv_nb_n}.

Question 1) Pour des suites positives {(a_n),(b_n)} telles que {\sum\limits a_n^p} et {\sum\limits b_n^q} convergent, montrer que {\sum\limits a_nb_n} converge.

Question 2) Si {\sum\limits a_n} converge, poser {R_n=\sum\limits_{k\ge n}a_k}.

Déterminer, pour {\alpha>0}, la nature de {\sum\limits a_n/R_n^\alpha}.

Question 3) Si {\sum\limits a_nb_n} converge pour toute suite positive {(b_n)} telle que {\sum\limits b_n^q\lt \infty}, montrer que {\sum\limits a_n^p\lt \infty}.

Question 1) Montrer que {\sum\limits u_n} converge si {\alpha>1/2}.

Question 2) Donner une condition nécessaire et suffisante sur {\alpha} pour sa convergence.

Question 1) Montrer que {\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^na_i}\le n^{-1}\sum\limits_{i=1}^na_i} pour des réels positifs {a_i}.

Question 2) Pour une suite {(a_n)_{n\ge1}} strictement positive, montrer que {\sum\limits_{n\ge1}\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^na_i}\lt e\sum\limits_{n\ge1}a_n}.

Question 3) Montrer que la constante {e} est optimale.

Question 1) Montrer que la {H_\alpha}-sommabilité implique la {H_{\alpha+1}}-sommabilité.

Question 2) Si {(H_{0,n})} est périodique, montrer la {H_\alpha}-sommabilité pour {\alpha\ge1}.

Question 3) Si {a_n\ge0} et {\sum\limits a_n=+\infty}, montrer qu’aucune de ces sommabilités n’a lieu.

Question 4) Montrer que la {H_\alpha}-sommabilité implique {a_n=o(n^\alpha)}.

Question 5) Donner une suite {H_{\alpha+1}}-sommable mais non {H_\alpha}-sommable.

Question 1) Montrer que {G_k} est définie pour {\operatorname{Im}z>0} et que {(x,y)\mapsto G_k(x+iy)} est {C^\infty}.

Question 2) Montrer que {G_k(iy)} admet une limite quand {y\to+\infty}.

Question 3) Étudier les deux limites {\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=-N}^N\sum\limits_{m\in\mathbb{Z}}(m+in)^{-2}} et {\lim_{M\to\infty}\sum\limits_{m=-M}^M\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}(m+in)^{-2}}, le couple {(0,0)} étant exclu. Sont-elles égales ?

Question 1) Pour une variable positive {X\in L^2} et {0\lt \lambda\lt 1}, montrer que {\mathbb{P}(X\ge\lambda \mathbb E(X))\ge(1-\lambda)^2(\mathbb E(X))^2/\mathbb E(X^2)}.

Question 2) Pour des variables positives indépendantes {(u_n)}, montrer que {\sum\limits u_n} converge presque sûrement si et seulement si {\sum\limits_n\mathbb E(\min(u_n,1))\lt \infty}.

Question 3) Si {\alpha>0} et {\mathbb{P}(X_n>r)\sim_{r\to\infty}r^{-\alpha}}, trouver une condition nécessaire et suffisante sur les {x_n\ge0} pour que {\sum\limits_nx_nX_n} converge presque sûrement.

Question a) Définir un produit scalaire sur {H} et écrire Cauchy-Schwarz.

Question b) Donner les inclusions entre ces espaces et montrer leur continuité.

Question c) Pour {u\in\mathbb{R}^{\mathbb{Z}}}, montrer que {u\in H} si et seulement si {\mu_u:v\mapsto u*v} est bien définie et continue de {H} dans {H}, où {(u*v)_n=\sum\limits_{p+q=n}u_pv_q}.

Soient {u^k,u\in\ell^1(\mathbb{N},\mathbb{R})}.

Montrer l’équivalence entre {\lVert u^k-u\rVert_1\to0} et, pour toute suite bornée {\varphi}, {\sum\limits_n\varphi_nu_n^k\to\sum\limits_n\varphi_nu_n}.

Question b) Pour {x\notin\mathbb{Q}} et {Q\ge1}, montrer qu’il existe {p\in\mathbb{Z}}, {q\in[[1,Q]]} avec {|qx-p|\le1/Q}.

En déduire une infinité de couples avec {|x-p/q|\le1/q^2}.

Question c) En admettant l’irrationalité de {\pi}, déterminer la nature de {\sum\limits_{n\ge1}1/(n\sin n)}.

Soit {(a_n)} décroissante de limite nulle, avec {A_\infty=\sum\limits_{n\ge0}a_n\lt +\infty}. Pour {P\subset\mathbb{N}}, posons {A(P)=\sum\limits_{n\in P}a_n}.

Montrer que {\left\{A(P):P\subset\mathbb{N}\right\}=[0,A_\infty]} si et seulement si {a_n\le\sum\limits_{k>n}a_k} pour tout {n}.

Question b) Pour {n=(n_1,n_2)\in\mathbb{Z}^2}, on note {|n|=\sqrt{n_1^2+n_2^2}}. Pour quels réels {s} la somme {\sum_{n,m\in\mathbb{Z}^2\setminus\left\{0\right\},\ n\ne m}\frac{|n-m|^s}{|n||m|(1+(|n|-|m|)^2)}}est-elle finie ?

Question a) Montrer que {\varphi(a)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\prod\limits_{k=0}^na_k^{-1}} appartient à {]0,1]}.

Question b) Montrer que {\varphi} est une bijection de {S} sur {]0,1]}.

Question c) Caractériser les {a} pour lesquels {\varphi(a)} est rationnel.

Soit {f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}_+^\star} décroissante de limite nulle et {\phi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}} croissante. Supposons que chaque {\alpha>0} possède une unique représentation {\alpha=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}f(n_i)} avec {n_{i+1}\ge\phi(n_i)}.

Montrer {\phi(0)=0} et, pour {n\ge1}, {f(n-1)=\sum_{i=0}^{+\infty}f(\phi^i(n)).}

Question i) {f(x)=O(x)} en zéro ;

Question ii) {\sum\limits f(a_n)} converge absolument pour toute série réelle {\sum\limits a_n} absolument convergente ;

Question iii) {\sum\limits f(a_n)} converge pour toute telle série.

Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telle que {\sum\limits f(a_n)} converge pour toute série réelle convergente {\sum\limits a_n}.

Montrer qu’il existe {\lambda\in\mathbb{R}} avec {f(x)=\lambda x} pour {x} voisin de zéro.

Trouver les fonctions continues {f:[0,1]\to\mathbb{R}} telles que {f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}2^{-n}f(x^n)} pour tout {x\in[0,1]}.

Soit {(a_k)_{k\ge1}} décroissante positive, avec {ka_k\le(k+1)a_{k+1}} pour tout {k}. Montrer {\int_0^\pi\max_{1\le k\le n}\left(a_k\frac{|\sin(kx)|}x\right)\,dx =\sum_{k=1}^n\frac{a_k}k+O(1).}

Question a) Pour {p,k\in\mathbb{N}}, justifier {I_{p,k}=\int_0^1\int_0^1y^kx^p/(1-xy)\,dx\,dy} et l’exprimer comme série.

Question b) Pour {d_n=\operatorname{ppcm}(1,\ldots,n)}, montrer {I_{p,k}\in d_p^{-2}\mathbb{Z}} si {p>k}, et {I_{p,p}\in\zeta(2)+d_p^{-2}\mathbb{Z}}.

Question c) Montrer que {P_n=(n!)^{-1}D^n(X^n(1-X)^n)} est à coefficients entiers.

Question d) Justifier et simplifier {I_n=\int_0^1\int_0^1(1-y)^nP_n(x)/(1-xy)\,dx\,dy}.

Question e) Montrer {I_n\in d_n^{-2}(\mathbb{Z}+\zeta(2)\mathbb{Z})}.

Question a) Montrer {\eta\in C^\infty(]1,+\infty[)} et déterminer sa limite à l’infini.

Question b) Montrer {\eta\in C^\infty(]0,+\infty[)}.

Question c) Calculer {\eta(1)}.

Question d) Montrer {|e^z-1|\le e^{|z|}-1} pour {z\in\mathbb{C}}.

Question e) Montrer que la série définissant {\eta(z)} converge pour {\operatorname{Re}z>0}.

a) Pour {C} non vide et distinct de {\mathbb{N}}, montrer {0\lt P_i(C)\lt 1} pour {i=1,2}.

b) Supposons que {X} suit la loi de Poisson de paramètre {\lambda_1} sous {P_1} et de paramètre {\lambda_2} sous {P_2}.

i) Calculer {u_n(X)}.

ii) Montrer que la série converge et calculer {\ell(X)}.

iii) Montrer que {\ell(X)\ge0}.

iv) Montrer que {\left\{n:n\ge\max(\lambda_1,\lambda_2)\right\}\subset A \subset\left\{n:n\le\min(\lambda_1,\lambda_2)\right\}.}c) Dans le cas général, montrer que {\sum\limits u_n(X)} converge et que {\ell(X)\ge0}.

d) Montrer que {\sum_{n=0}^\infty|P_2(X=n)-P_1(X=n)| =2(P_2(X\in A)-P_1(X\in A)).}

1) Montrer le même résultat pour les suites complexes.

2) Montrer le même résultat dans {\ell^2(\mathbb{C})} muni de {\lVert u\rVert_2=(\sum\limits_{j\ge0}|u_j|^2)^{1/2}}.

Étudier, suivant {\alpha\in\mathbb{R}}, la nature de la série {\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}+(-1)^n}.}

Quelle est la nature de la série {\sum\limits\sin(2\pi n!e)} ?

Quelle est la nature de la série {\sum\limits\tan(2\pi n!e)} ?

Étudier, suivant {\alpha\in\mathbb{R}}, la nature de {\sum\limits|\sin(2\pi e n!)|^\alpha}.

Quelle est la nature de la série de terme général {\sin^2(n)/n} ?

Soit {\sum\limits a_n} une série convergente de réels positifs.

Montrer que {\sum\limits_{n\ge1}a_n^x/n} converge pour tout {x>0}.

On pose {a_1>0} puis {a_{n+1}=10^n a_n^{n^2}} pour tout {n\in\mathbb{N}^\star}.

À quelle condition sur {a_1} la suite {(a_n)} tend-elle vers {0} ?

Soit {(x_n)_{n\in\mathbb{N}}} une suite de réels positifs telle que {\sum\limits_{n=0}^{\infty}x_n=A}.

Quelles sont les valeurs possibles de {\sum\limits_{n=0}^{\infty}x_n^2} ?

a) Montrer que {\sum\limits_nu_n/S_n^2} converge.

b) Montrer que {\sum\limits_nu_n/S_n} diverge.

c) Soient {x_n>0} tels que, pour toute suite {y_n>0}, la convergence de {\sum\limits_ny_n^2} implique celle de {\sum\limits_nx_ny_n}.

Montrer que {\sum\limits_nx_n^2} converge.