Question 1) Expliciter les {\phi\in O(\mathbb{C})} tels que {\phi(\mathbb{U}_n)=\mathbb{U}_n} ; noter ce groupe {D_{2n}}.

Question 2) Dénombrer les morphismes de {D_{2m}} dans {D_{2n}}.

Question 3) Montrer que tout automorphisme de {\mathfrak S_3} est intérieur.

Question 1) Montrer que {H} est un sous-espace affine de dimension {3}.

Question 2) Montrer que {H} est un groupe et déterminer son centre.

Question 3) Pour {A,B\in L}, poser {A\star B=A+B+\frac12(AB-BA)}.

Montrer que {(L,\star)} est un groupe et que l’exponentielle l’identifie à {H}.

Question 4) Calculer {A^n} pour {A\in H}.

Question 5) Pour {K=\mathbb{F}_2}, identifier {H} au groupe des isométries du carré de sommets {(\pm1,0),(0,\pm1)}.

Question 1) Déterminer le centre de {GL_n(K)}.

Question 2) Identifier la droite projective {\mathbb{P}^1(K)} à {K\cup\left\{\infty\right\}} par {[a:b]\mapsto a/b}.

Question 3) Munir {PGL_n(K)=GL_n(K)/K^\starI_n} de sa structure de groupe quotient.

Question 4) Montrer que {([P],[X])\mapsto[PX]} définit une action sur {\mathbb{P}^{n-1}(K)}.

Question 5) Identifier l’action de {\left[\begin{smallmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{smallmatrix}\right]} à {z\mapsto(az+b)/(cz+d)}, avec les conventions usuelles à l’infini.

Question 6) Montrer que l’action sur les triplets de points distincts est transitive.

Question 7) Expliciter {S_0,S_\infty,S_0\cap S_\infty,S_0\cap S_\infty\cap S_1}.

Question 8) Montrer que toute involution non triviale de {PGL_2(\mathbb{C})} est conjuguée à {z\mapsto-z}.

Question 1) Montrer que {A} est un sous-anneau de {\mathbb{Q}}.

Question 2) Montrer que {A} est euclidien.

Question 3) Énoncer et démontrer l’existence et l’unicité de la factorisation en irréductibles dans {A}.

Déterminer les inversibles de {(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[X]}.

Question 1) Décrire le cas {n=1}.

Question 2) Pour une base {e=(e_1,\ldots,e_n)}, montrer que {L_e=\sum\limits_i\mathbb{Z}e_i} est un {L}-groupe et caractériser {L_e=L_{e'}}.

Soit {\phi:SL_2(\mathbb{R})\to GL_n(\mathbb{R})} un morphisme de groupes.

Montrer que {\phi} est à valeurs dans {SL_n(\mathbb{R})}.

Pour un groupe {G}, soit {\operatorname{sub}(G)} l’ensemble de ses sous-groupes.

Si {G,H} sont finis d’ordres premiers entre eux, montrer que {|\operatorname{sub}(G\times H)|=|\operatorname{sub}(G)|\,|\operatorname{sub}(H)|.}

Question 1) Soit {(a_n)_{n\geq1}\subset\mathbb{R}_+} sous-additive.

Montrer que {a_n/n\to\inf_{k\geq1}a_k/k}.

Question 2) Soient {G} un groupe, {S} une partie génératrice finie stable par inversion et {L_S} la longueur des mots. Pour un endomorphisme {\Phi}, poser {\Lambda_S(\Phi)=\max_{s\in S}L_S(\Phi(s))}.

Montrer que {n^{-1}\ln\Lambda_S(\Phi^n)} converge vers une limite indépendante de {S}.

Question 1) Montrer que tout idéal maximal est premier.

Question 2) Pour {n\geq3} premier et {A=\mathbb{Z}[e^{2i\pi/n}]}, montrer que tout idéal premier est maximal.

Question 1) Montrer qu’un idéal {M\ne A} d’un anneau commutatif unitaire est maximal si et seulement si {A/M} est un corps.

Question 2) Dans {A=C([0,1],\mathbb{R})}, montrer que {M(x_0)=\left\{f:f(x_0)=0\right\}} est maximal.

Question 3) Si {I} est un idéal tel que {\bigcap_{f\in I}f^{-1}(0)=\varnothing}, montrer que {I=A}.

Question 4) Caractériser les idéaux maximaux de {A}.

Soit {G=\left\{\left(\begin{smallmatrix}a&-b\\[4pt]\bar b&\bar a\end{smallmatrix}\right):|a|^2+|b|^2=1\right\}}.

Montrer que {G} est un sous-groupe de {GL_2(\mathbb{C})} possédant exactement un sous-groupe distingué autre que {G} et {\left\{I\right\}}.

Pour la norme subordonnée à {\lVert \cdot\rVert_\infty}, déterminer le plus petit {a>0} tel qu’un sous-groupe non trivial de {GL_n(\mathbb{C})} soit contenu dans la boule fermée de centre {I_n} et de rayon {a}.

Question 1) Pour {r=a/b\ne0}, poser {\lVert r\rVert=p^{\nu_p(a)-\nu_p(b)}}, et {\lVert 0\rVert=0} ; vérifier l’indépendance de la représentation.

Question 2) Montrer l’inégalité ultramétrique et les propriétés d’une valeur absolue.

Question 3) Montrer qu’une suite de Cauchy ne tendant pas vers {0} est finalement non nulle et que sa suite inverse est de Cauchy.

Question 4) Montrer que les suites de Cauchy forment un sous-anneau {C_p} de {\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}}.

Question 5) Quotienter par les suites de limite nulle et construire l’anneau {\mathbb{Q}_p}.

Question 6) Montrer que c’est un corps et construire l’unique morphisme injectif {\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}_p}.

Question 7) Prolonger la valeur absolue au quotient par {N(a)=\lim_n\sup_{k\geq n}\lVert a_k\rVert}.

Question 8) Montrer qu’une série sur {\mathbb{Q}_p} converge si et seulement si son terme général tend vers {0}.

Question 9) {\mathbb{R}} et {\mathbb{Q}_p} sont-ils isomorphes ?

Question 1) Rappeler la définition de la différentielle.

Question 2) Montrer {\partial_2f(x\star y,e)=\partial_2f(x,y)\partial_2f(y,e)}.

Question 3) Construire un {C^1}-difféomorphisme {\Phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} tel que {\Phi(x\star y)=\Phi(x)+\Phi(y)}.

Question a) Si {|XX|\lt 2|X|}, montrer que {XX^{-1}=X^{-1}X}.

Question b) Si {|XX^{-1}|\lt 3|X|/2}, montrer que {X^{-1}X} est un sous-groupe.

Question a) Montrer que {\mathrm{SL}_n(A)} est un groupe pour tout anneau commutatif {A}.

Question b) Montrer que {S=\begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}} et {T=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&1\end{pmatrix}} engendrent {\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})}.

Question c) Montrer que la réduction {\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\to\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})} est un morphisme surjectif pour {m\ge2}.

Question a) Caractériser les éléments inversibles.

Question b) Montrer que {A^\star} n’est pas de type fini.

Soit {\mathcal A} l’algèbre des fonctions polynomiales sur {M_n(\mathbb{C})} invariantes par conjugaison, et {\mathcal B} celle des fonctions polynomiales sur les matrices diagonales invariantes par permutation des termes diagonaux.

Expliciter un isomorphisme {\mathcal A\to\mathcal B}.

Soient {2\le d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_r}.

Déterminer le plus petit {n} pour lequel {\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})} contient {\prod\limits_{i=1}^r\mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}}.

Soit {g} une fonction bornée non nulle à support compact, et {W(g)=\operatorname{Vect}(x\mapsto g(x-n):n\in\mathbb{Z})}.

Montrer que l’ensemble des translations {t} telles que {\left\{f(\cdot-t):f\in W(g)\right\}=W(g)} est un sous-groupe discret de {\mathbb{R}}.

Soit {G} un sous-groupe des applications {z\mapsto az+b}, {|a|=1}. Supposer que {g(0)=0} ou {|g(0)|\ge1} pour tout {g\in G}, et que les vecteurs de translation de {G} contiennent deux éléments réellement indépendants.

Montrer que l’ensemble des parties linéaires {a} est fini.

Soit {N:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}_+} telle que {N(xy)=N(x)N(y)}, {N(x+y)\le N(x)+N(y)}, {N(x)=0\Longrightarrow x=0}, et telle qu’il existe {n\in\mathbb{N}} avec {N(n)>1}.

Montrer qu’il existe {\lambda\in]0,1]} telle que {N(x)=|x|^\lambda} pour tout {x\in\mathbb{Q}}.

Question 1) Les anneaux {\mathbb{Z}}, {\mathbb{R}[X]} sont-ils euclidiens ?

Montrer qu’un corps l’est.

Question 2) Montrer que tout idéal de {A} est principal. Le générateur est-il unique ?

Question 3) Si {t(1)=1}, montrer que {x} est inversible si et seulement si {t(x)=1}.

Soit {A} l’ensemble des fonctions de {\mathbb{N}^\star} vers {\mathbb{C}}, muni de l’addition usuelle et de {(f*g)(n)=\sum\limits_{d\mid n}f(d)g(n/d)}.

Montrer que c’est un anneau commutatif intègre, caractériser ses inversibles, puis résoudre {ax^2+bx+c=0} dans cet anneau si {a} et {b^2-4ac} sont inversibles.

Montrer que les sous-groupes de {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} sont cycliques. Alice et Barbara choisissent à tour de rôle, sans remise, un élément de {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} qu’elles ajoutent à un ensemble {S}. Le jeu s’arrête lorsque {S} engendre le groupe ; celle qui a choisi le dernier élément perd. Selon {n}, la première joueuse a-t-elle une stratégie gagnante ?

Même question avec {\mathfrak S_n}.

Soient {G} un groupe et {A\subset G} fini non vide.

Montrer {|A|=|AA|} si et seulement si {A=xH}, avec {H} un sous-groupe et {x^{-1}Hx=H}.

Soit {A} fini non vide dans un groupe {G}, avec {|AA|\lt 3|A|/2}.

Montrer que {A^{-1}A} est un sous-groupe.

Trouver à isomorphisme près les groupes d’ordre huit dont l’ordre maximal des éléments vaut quatre, puis tous les groupes d’ordre huit.

Donner des exemples de groupes commutatifs d’ordre douze et un exemple non commutatif.

Montrer que tout groupe d’ordre douze possède un élément d’ordre deux, puis déterminer les groupes commutatifs d’ordre douze.

Montrer l’existence d’un élément d’ordre trois, puis déterminer tous les groupes d’ordre douze à isomorphisme près.

Soit {A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\[4pt]1&0&1\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{F}_3)}. On admet {A^{13}=-I_3}.

Quels calculs permettraient de le vérifier ?

Montrer que {A} est inversible d’ordre vingt-six.

Pour {G=\langle A\rangle} et {V=G\cup\left\{0\right\}}, montrer {V=\operatorname{Vect}(I,A,A^2)}.

Avec {W=\operatorname{Vect}(I,A)}, montrer que tout {M\in G} s’écrit {P^{-1}N} avec {N,P\in W\setminus\left\{0\right\}}.

Pour {H=\langle A^2\rangle}, montrer {H\simeq\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}} et {|H\cap W|=4}.

Soit {\mathbb{R}[X,X^{-1}]} l’anneau des fractions rationnelles réelles dont le dénominateur est une puissance de {X}.

Montrer que c’est un sous-anneau de {\mathbb{R}(X)} ; est-ce un sous-corps ?

Déterminer ses inversibles, les automorphismes de l’anneau {\mathbb{R}}, les automorphismes de la {\mathbb{R}}-algèbre {\mathbb{R}[X,X^{-1}]}, puis ses automorphismes d’anneau.

Pour {n\ge1} et {m\ge2}, montrer que la réduction modulo {m} définit un morphisme de groupes {SL_n(\mathbb{Z})\to SL_n(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})}, puis que ce morphisme est surjectif.

Question 1) Montrer que {\mathcal A} est un {\mathbb{R}}-espace vectoriel.

Question 2) Pour un morphisme {\xi:(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\to\mathbb{C}^\star}, calculer {\sum\limits_r\xi(r)}.

Question 3) Montrer que {\mathcal A} est stable par produit matriciel et que la {\mathbb{R}}-algèbre ainsi obtenue est isomorphe à {M_2(\mathbb{R})} (on exhibera un isomorphisme).

Question 1) Donner des exemples de tels groupes, dont certains ne soient pas des sous-groupes de {GL_n(\mathbb{R})}.

Question 2) Soit {A\in M_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {A} est semblable à {\begin{pmatrix}B&0\\[4pt]0&N\end{pmatrix}}, où {B} est inversible et {N} nilpotente.

Question 3) Caractériser ces groupes.

Question 1) Montrer que toute {M\in SL_n(\mathbb{C})} s’écrit de façon unique {M=UD}, où {U\in SL_n(\mathbb{C})} est de la forme {I_n+N}, {N} nilpotente, {D\in SL_n(\mathbb{C})} est diagonalisable et {UD=DU}.

Question 2) Soit {\rho:SL_n(\mathbb{C})\to SL_m(\mathbb{C})} un morphisme de groupes dont les coefficients sont des fonctions polynomiales de ceux de {M}.

Montrer que {\rho} respecte cette décomposition.

On admet l’existence d’une {\mathbb{R}}-algèbre {\mathbb{H}} d’unité {1}, de base {(1,i,j,k)}, avec {i^2=j^2=k^2=-1}, {ij=k=-ji}, {jk=i=-kj}, {ki=j=-ik}.

Montrer que son groupe d’automorphismes est isomorphe à {SO_3(\mathbb{R})}.

Question 1) Montrer que {Z(G)} est un sous-groupe de {G} et que {U_n(\mathbb{C})} est un sous-groupe de {GL_n(\mathbb{C})}.

Question 2) Pour {A} hermitienne, montrer qu’il existe {P\in U_n(\mathbb{C})} tel que {P^\starAP} soit diagonale.

Question 3) Montrer que toute matrice complexe est combinaison linéaire d’au plus quatre matrices unitaires.

Question 4) Déterminer {Z(U_n(\mathbb{C}))}.

Soit {G} un sous-groupe de {(\mathbb{R}^n,+)} dans lequel {0} est isolé.

Montrer qu’il existe une famille libre {(u_1,\ldots,u_p)} telle que {G=\sum\limits_{k=1}^p\mathbb{Z}u_k}.

Question 1) Caractériser les groupes finis isomorphes à un sous-groupe de {H}.

Question 2) Montrer que tout sous-groupe dénombrable {G} de {H^+} admet un ordre total tel que {f\le g} implique {h\circ f\le h\circ g}.

Question 3) Réciproquement, montrer que tout groupe dénombrable admettant un tel ordre est isomorphe à un sous-groupe de {H^+}.

Soit {S\subset\mathbb{N}^\star} infinie et stable par produit. On range ses éléments en une suite strictement croissante {(s_n)_{n\ge1}}.

Montrer que {(s_{n+1}/s_n)} admet une limite dans {[1,+\infty[}.

Question 1) Soit {G} le groupe des déplacements du plan complexe {z\mapsto az+b}, {|a|=1}.

Montrer qu’un sous-groupe {H} est discret si et seulement si chaque orbite {H\cdot z} n’a pas de point d’accumulation.

Question 2) Cette équivalence subsiste-t-elle pour les similitudes directes, où {a\in\mathbb{C}^\star} ?

Question a) Quels sont les inversibles de {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} ?

Question b) Soit {n\ge3}, {n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}}, où les {p_i} sont premiers distincts supérieurs ou égaux à {3} et les {\alpha_i\ge1}. On admet que {(\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_i}\mathbb{Z})^\times} est cyclique.

Montrer que la proportion d’éléments d’ordre pair dans {(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times} est au moins {1-2^{-r}}.

Question c) Déterminer le nombre de solutions de {x^2=1} modulo {n}.

Question d) Caractériser les éléments {x} d’ordre pair {r=2\ell} tels que {x^\ell\ne-1}.

Question a) Pour {f(x,y)=x-y}, déterminer les parties {f}-génératrices de cardinal minimal et leur nombre. On suppose ensuite {f(x,y)=xy}.

Question b) Montrer qu’aucun singleton n’est {f}-générateur.

Question c) En admettant que le groupe des inversibles est cyclique, construire une partie {f}-génératrice de cardinal {2}.

Question d) Caractériser toutes celles de cardinal {2}.

Dénombrer les morphismes de {(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+)} dans le groupe des automorphismes de {(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z},+)}.

Question a) Montrer que tout élément est idempotent.

Question b) Montrer que {A} est commutatif.

Question c) Si {A} est fini, montrer qu’il est isomorphe à {(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n} pour un {n\in\mathbb{N}^\star}.

Question a) Rappeler pourquoi les idéaux de {\mathbb{Z}} sont principaux.

Question b) Montrer que {\mathbb{Z}[i\sqrt2]} est un sous-anneau de {\mathbb{C}} dont les idéaux sont principaux.

Question c) Déterminer ses inversibles.

Question d) Trouver les {(x,y)\in\mathbb{Z}^2} tels que {x^2+2=y^3}.

Question a) Montrer qu’un groupe possédant un ordre de groupe est sans torsion.

Question b) Munir {(\mathbb{Z}^n,+)} d’un ordre de groupe.

Question c) Montrer que tout sous-groupe de {\mathbb{Z}^n} est isomorphe à {\mathbb{Z}^m} pour un {m\in[[0,n]]}.

Question a) Soit {A} un anneau commutatif.

Rappeler la définition d’un idéal. Un idéal {I} est dit maximal si {A} est le seul idéal {J} tel que {I\subsetneq J\subset A}.

Montrer qu’un idéal maximal ne contient pas d’inversible.

Question b) Pour {U=\mathcal F(\left\{0,1\right\},\mathbb{R})}, donner les idéaux maximaux.

Question c) Même question pour {V=C^0([0,1],\mathbb{R})}.

Question a) Montrer que {\mathbb{Z}}, {\mathbb{R}[X]} et tout corps sont euclidiens.

Question b) Montrer que tout idéal est principal.

Question c) Si {t(1)=0}, montrer que les unités sont exactement les {u\ne0} avec {t(u)=0}. On suppose désormais que le couple {(q,r)} de (i) est unique.

Question d) Montrer {t(a+b)\le\max(t(a),t(b))} lorsque {a,b,a+b} sont non nuls.

Question d) Montrer que {A^\times\cup\left\{0\right\}} est un sous-corps.

Question e) Montrer que {A} est un corps ou est isomorphe à {K[X]} pour un corps {K}.

Question a) Montrer que les opérations coordonnées en font un anneau contenant un sous-anneau isomorphe à {\mathbb{Z}}.

Question b) Montrer qu’il est intègre.

Question c) Déterminer ses inversibles.

Question d) Soit {P\in\mathbb{Z}[X]}.

Si {p\mid P(x)} et {p\nmid P'(x)} pour un entier {x}, montrer l’existence d’une racine {y\in\mathbb{Z}_p} avec {y_1=\bar x}.

Question a) Montrer que {C_H} est un sous-groupe infini.

Question b) Montrer {C_H=\mathbb{Z}[H]\cap GL_2(\mathbb{Z})}, où {\mathbb{Z}[H]=\left\{xI+yH:x,y\in\mathbb{Z}\right\}}.

Question c) Montrer {C_H\simeq(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times\mathbb{Z}} et donner des générateurs.

Question a) Montrer que l’ensemble {E} des morphismes {G\to H} est fini.

Question b) Si {\psi:G\to G} est surjectif, montrer {\ker\psi\subset\bigcap_{\varphi\in E}\ker\varphi}.

Question c) Pour {G=SL_2(\mathbb{Z})},

i) vérifier que c’est un groupe ;

ii) montrer qu’il est engendré par {S=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&1\end{pmatrix}}, {T=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix}} et {U=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]-1&0\end{pmatrix}} ;

iii) montrer que tout endomorphisme surjectif de {G} est bijectif.

Question a) Montrer que {G_A=\left\{(k,U)\right\}} est un groupe.

Est-il abélien ?

Question b) Construire un morphisme injectif de {G_A} dans le groupe des matrices {\begin{pmatrix}e^t&0&x\\[4pt]0&e^{-t}&y\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}}, {t,x,y\in\mathbb{R}}.

Question c) Si {D_A} est le sous-groupe engendré par les commutateurs {ghg^{-1}h^{-1}}, montrer {D_A=\left\{(0,(I-A)U):U\in\mathbb{Z}^2\right\}}.

Soient {K} un corps et {A\in M_2(K)}, de polynôme caractéristique irréductible.

Supposons qu’il existe {B\in GL_2(K)} tel que {B^{-1}AB} commute avec {A}, mais {B} ne commute pas avec {A}.

Montrer que {B^2} est scalaire.

Déterminer le cardinal minimal {p} d’un sous-groupe {G} de {GL_2(\mathbb{C})} tel que {\operatorname{Vect}G=M_2(\mathbb{C})}. Deux sous-groupes réalisant ce minimum sont-ils conjugués ?

Soient {n\ge2} et {E_n=\left\{e_1,\ldots,e_n\right\}}. Soient {\sigma_1,\ldots,\sigma_n} indépendantes et uniformes sur {\mathfrak S_n}. On définit {e_i*e_j=e_{\sigma_i(j)}}.

Montrer que la probabilité que {(E_n,*)} soit un groupe, sachant que {*} admet un neutre, tend vers zéro lorsque {n\to\infty}.