Soit {f(X)=2X-X^2} sur {M_n(\mathbb{C})}.

Déterminer l’ensemble {\Gamma} des limites des suites {(f^k(X))}, puis, pour {Y\in\Gamma}, les matrices {X} telles que {f^k(X)\to Y}.

Pour {u\in\mathcal L(\mathbb{Q}^m)}, posons {\Psi_u(X)=\prod\limits_{\lambda\in\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(u)}(X-\lambda)}.

Étudier la définition et la convergence de {u_0=u}, {u_{n+1}=u_n-\Psi_u(u_n)\Psi_u'(u_n)^{-1}}.

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu’une suite réelle admette une réindexation monotone à partir d’un certain rang.

Question 1) Montrer {1\leq(a+b)/(2\sqrt{ab})\leq\sqrt{a/b}}, puis la positivité de {((a+b)/2-\sqrt{ab})/((a+b)/2+\sqrt{ab})}.

Question 2) Calculer {I(a,a)} et prouver {I(a,b)=I((a+b)/2,\sqrt{ab})}.

Question 3) Étudier {a_{n+1}=(a_n+b_n)/2}, {b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}}, {(a_0,b_0)=(a,b)}.

Question 4) En déduire {I(a,b)}.

Question 1) Étudier variations, points fixes et limites possibles.

Question 2) Donner le terme général et la limite.

Question 3) Même question avec des paramètres variables {\alpha_n\in]-1,1[}.

Question 4) Que dire si les {\alpha_n} sont indépendants de même loi ?

Soient {a_n,b_n\to1} et {u_n>0} avec {u_{n+2}=a_{n+1}u_{n+1}+b_{n+1}u_n}.

Montrer que {v_n=u_{n+1}/u_n} et {w_n=\log(u_n)/n} convergent.

Soient {\alpha>0}, {a_n\in(0,1)} strictement décroissante et {u_{n+1}=u_n(u_n^\alpha+a_n)}, avec {u_0>0}.

Montrer qu’il existe un unique {u_0} donnant une limite strictement positive finie.

Question a) Calculer celle des multiples de {m}.

Question b) Calculer celle de {A\cup B} si {A,B} sont disjoints et ont une densité.

Question c) Donner un ensemble sans densité.

Soit {(a_n)\in\left\{2,3\right\}^{\mathbb{N}^\star}} avec {a_1=2}. Entre la {n}-ième et la {(n+1)}-ième occurrence de {2}, il y a exactement {a_n} occurrences de {3}.

Étudier la limite de {n^{-1}\#\left\{k\le n:a_k=3\right\}}.

Soit la suite {(a_n)} définie par {a_1=2} et par la règle : entre la {n}-ième et la {(n+1)}-ième occurrence de {2} figurent exactement {a_n} termes égaux à {3}.

Montrer qu’il existe un unique irrationnel {\alpha} tel que les indices des {2} soient exactement {\lfloor m\alpha\rfloor+1}, {m\in\mathbb{N}}.

Soit {B} la boule euclidienne unité fermée de {\mathbb{R}^n}. Supposer {f\in C^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)} et {\lVert -f(0)+v-df_u(v)\rVert\le1/2} pour tous {u,v\in B}.

Montrer que {f} s’annule exactement une fois sur {B}.

L’ensemble {\mathcal{A}} des parties de {\mathbb{N}} qui possèdent une densité asymptotique, c’est-à-dire qui sont tels que {\lim\limits_{n\to+\infty}\frac1n{\rm Card}(A\cap \llbracket 1,n\rrbracket)} existe, est-il une tribu ?

Soit {E} fini, {V:E\to\mathcal P(E)} et {f:E\to\mathbb{R}}. Un minimum local {a} vérifie {f(a)\le f(b)} pour tout {b\in V(a)}. Choisir {M\ge|E|} points uniformes indépendants et commencer une suite au meilleur de ces points. À chaque étape, rester en place si l’on est minimum local ; sinon choisir un voisin de valeur strictement plus petite.

Montrer que {u_M} est un minimum local avec probabilité au moins {1/2}.

Soit {(z_n)_{n\ge0}} définie par {z_{n+1}=z_ne^{-i\operatorname{Im}(z_n)}}. Pour quelles valeurs de {z_0} cette suite est-elle convergente ?

Fixons {n\ge2} et {t_i\in]0,1[} pour {i\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}. Des suites réelles vérifient {x_{k+1}^i=(1-t_i)x_k^i+t_ix_k^{i+1}}.

Montrer que toutes convergent vers une même limite.

Soient {z_1,\ldots,z_m} distincts de module {1} et {a_1,\ldots,a_m\in\mathbb{C}} tels que {\sum\limits_{k=1}^ma_kz_k^n\to0}.

Montrer que {a_1=\cdots=a_m=0}.

Soit {(a_n)} une suite complexe bornée telle que, pour tout {h\ge1}, {n^{-1}\sum\limits_{k=1}^na_k\overline{a_{k+h}}\to0}.

Montrer que {n^{-1}\sum\limits_{k=1}^na_k\to0}.

Pour {x_0>0}, on définit {x_{n+1}=x_n+\int_{x_n}^{+\infty}e^{-t^2}dt}.

Étudier la suite, donner un équivalent de {x_n}, puis un développement asymptotique à deux termes.

Question 1) Soit {(u_n)} réelle telle que {u_{n+p}\le u_n+u_p+C}.

Montrer que {(u_n/n)} converge ou tend vers {-\infty}.

Question 2) Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continue et croissante avec {f(x+1)=f(x)+1}.

Montrer que {(f^n(x)-x)/n} converge vers une limite indépendante de {x}.

Question a) Montrer que deux matrices réelles diagonalisables commutantes sont simultanément diagonalisables.

Question b) Montrer que {\Phi:(S,O)\in S_n^{++}(\mathbb{R})\times O_n(\mathbb{R})\mapsto SO\in GL_n(\mathbb{R})} est bijective et que son inverse est continue.

Question c) Pour {M\in GL_n(\mathbb{R})}, montrer l’existence d’une unique suite {M_0=M}, {M_{k+1}=\frac12M_k(I+(M_k^TM_k)^{-1})}, puis étudier sa convergence.

Question a) Soit {f\in C^2(\mathbb{R})} avec {f(x^\star)=0} et {f'(x^\star)\ne0}. Pour {x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)}, montrer la convergence vers {x^\star} pour tout {x_0} assez proche, avec suite bien définie.

Question b) Pour {f(x)=e^x-1}, déterminer les {x_0} donnant une suite stationnaire.

Question c) Même question dans le cas général si {f''>0} et {f'} ne s’annule pas sur {\mathbb{R}}.

Question a) Si {c\in]a,b[} et {f(c)>c}, montrer {f^k(c)>c} pour tout {k\ge1}.

Question b) Pour {x_{n+1}=f(x_n)}, montrer que {(x_n)} converge.

Question c) Montrer que toutes les suites d’itérés convergent si et seulement si {f} n’a pas de point de période {2}.

1) Montrer que {\widehat f} est {1}-périodique et que {|\widehat f(x)-\widehat f(y)|\le1} pour {x,y\in[0,1)}.

2) Montrer que {f^n\in D_0} et {\widehat{f^n}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\widehat f\circ f^k}.

3) Montrer que {x-y-1\le f^n(x)-f^n(y)\le x-y+1} pour {x,y\in[0,1]}.

4) Pour {n\ge0}, posons {u_n(x)=f^n(x)-x+1}.

5) Montrer que {u_{m+n}(x)\le u_m(x)+u_n(x)}.

6) Si {1\le p\le n} et {r} est le reste de la division de {n} par {p}, montrer que {\frac{u_n(x)}n\le\frac{u_p(x)}p+\frac{u_r(x)}n-\frac{r u_p(x)}n.}

7) Montrer que {u_n(x)/n}, {n\ge1}, converge vers sa borne inférieure.

Soit {u_0>0} et {u_{n+1}=u_n/(2+u_n)}.

Étudier la convergence, montrer {u_n=O(2^{-n})} et trouver un équivalent.

Soit {F_0=0}, {F_1=1}, {F_{n+2}=F_n+F_{n+1}}.

Montrer que tout {N\ge1} s’écrit de manière unique {N=F_{p_1}+\cdots+F_{p_m}}, où {p_1\ge2} et {p_{i+1}-p_i\ge2}.

1) Soit {X\subset\mathbb{N}} contenant {0,1} et tel que {|X\cap\left\{0,\ldots,n\right\}|/n\to0}.

Montrer que, pour tout {k\ge1}, il existe {j\ge0} avec {|X\cap\left\{j,\ldots,j+k\right\}|=2}.

2) Montrer qu’il existe {100} entiers consécutifs contenant exactement {5} nombres premiers.

Étudier les suites {u} et {v} telles que {u_0=v_0=0}, {u_1=v_1=1} et, pour tout {n\ge1}, {\begin{cases} u_{n+1}=au_n+bv_n+cu_{n-1}+dv_{n-1},\\[4pt] v_{n+1}=a'u_n+b'v_n+c'u_{n-1}+d'v_{n-1}, \end{cases}}avec toutes les constantes réelles.

1) Pour quelles valeurs de {a} a-t-on {x_n\in[0,1]} pour tout {n} ?

Que peut-on dire alors de la suite ?

2) Montrer que, si {a\in[1,2]}, alors {x_n} tend vers {(a-1)/a}.

3) On suppose {a\in[2,3]} et que {(x_n)} converge.

Quelle est sa limite ?

1) Pour chaque {j}, {p_{n,j}\to0} lorsque {n\to\infty}.

2) Pour toute suite convergente {(s_n)} de limite {S}, {\sum\limits_{j=0}^n p_{n,j}s_j\to S}.

1) Montrer que, si {u_0} et {u_1} sont assez petits, alors {u_n\to0}.

2) Sous ces hypothèses, déterminer un équivalent de {u_n}.

1) Montrer que {|c|\le1/4} implique {c\in M}.

2) Montrer que {|c|\ge3} implique {c\notin M}.

3) Déterminer {M\cap\mathbb{R}}.

Soient {(a_n)} et {(b_n)} deux suites réelles et {S\in\mathbb{R}}. On suppose {b_n>0}, {\sum\limits b_n=+\infty} et {a_n/b_n\to S}.

Montrer que {(a_0+\cdots+a_n)/(b_0+\cdots+b_n)\longrightarrow S.}

Soient {f,g:[0,1]\to[0,1]} continues, avec {f\circ g=g\circ f} et {g} croissante.

Montrer qu’elles admettent un point fixe commun.

On dit que {(x_n)} converge au sens de Cesàro vers {\ell} lorsque {(x_1+\cdots+x_n)/n\to\ell}.

Déterminer toutes les fonctions {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telles que, pour toute suite convergeant au sens de Cesàro vers {\ell}, {(f(x_n))} converge au sens de Cesàro vers {f(\ell)}.

Soient {0\lt \gamma\le1} et une suite {(x_n)} de réels strictement positifs telle que {x_{n+1}\le x_n+x_n^{1-\gamma}}.

Montrer qu’il existe {d>0} tel que {x_n\le dn^{1/\gamma}}.

a) Si {y_n=x_{n+1}-x_n\to0}, la suite réelle {(x_n)} converge-t-elle nécessairement ?

b) Si {y_n=x_{n+1}-x_n/2\to0}, montrer que {x_n\to0}.

Soit une famille réelle {(x_{n,N})_{n,N\in\mathbb{N}}} telle que {x_{n,N}\to\alpha} lorsque {n\to\infty}, pour chaque {N} fixé.

Montrer qu’il existe une suite croissante {(N_n)} telle que {x_{n,N_n}\to\alpha}.

Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continue, tendant vers zéro aux deux infinis, et telle que {f}, {x\mapsto f(x+1)}, {x\mapsto f(x+2)} soient linéairement dépendantes.

Que dire de {f} ?