(Oral X Mp/Mpi)
Soit {G} un sous-groupe de {GL_n(\mathbb C)}. On pose {\mathcal A=\operatorname{Vect}(G)}. On suppose qu’il existe un entier {m\geqslant1} tel que {g^m=I_n} pour tout {g\in G}.
Question a)
Montrer que l’on peut trouver une base {(g_1,\ldots,g_p)} de {\mathcal A} formée d’éléments de {G}.
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Question b)
On pose {\varphi(a)=(\operatorname{tr}(ag_1),\ldots,\operatorname{tr}(ag_p))} pour {a\in\mathcal A}. Montrer que {\varphi(G)} est fini.
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Question c)
Montrer que {\varphi} est injective sur {G}.
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Question d)
Conclure que {G} est fini.
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