(Oral Ens Mp/Mpi)
On note {\mathcal{D}} l’espace des fonctions réelles de classe {\mathcal{C}^{\infty}} sur {\mathbb{R}}, à support compact, et {\mathcal{D}^\star} son dual algébrique.
| Question a) Montrer que {\mathcal{D}\neq\{0\}}. |
| Question b) On note {\mathcal{D}'} l’ensemble des formes linéaires {T} telles que, pour tout compact {K\subset\mathbb{R}}, il existe {p\in\mathbb{N}} et {C>0} vérifiant : {|T(\varphi)|\leqslant C\sum_{j=0}^{p}\lVert\varphi^{(j)}\rVert_\infty}pour toute {\varphi\in\mathcal{D}} à support dans {K}. Montrer que {\mathcal{D}'} est un sous-espace vectoriel de {\mathcal{D}^\star}. |
| Question c) Dans cet exercice, une distribution est dite d’ordre fini s’il existe {p\in\mathbb{N}} et {C>0} tels que l’inégalité précédente soit valable pour toute {\varphi\in\mathcal{D}}, sans restriction sur son support. Son ordre est le plus petit entier {p} convenable. Pour {x_0\in\mathbb{R}}, montrer que {\delta_{x_0}:\varphi\mapsto\varphi(x_0)} est d’ordre fini et déterminer son ordre. |
| Question d) Soit {e(x)=x}. Pour {T\in\mathcal{D}'}, montrer que la formule {(eT)(\varphi)=T(e\varphi)} définit une distribution. |
| Question e) Soit {T\in\mathcal{D}'}. Montrer que {eT=0} si et seulement si {T} est colinéaire à {\delta_0}. |