Pour tout réel {\lambda}, on note {f_\lambda} l’application définie par {f_\lambda(x)=\frac{4x}{\lambda+\ln\left|\frac{x}{x-4}\right|}}On note {C_\lambda} la courbe représentative de {f_\lambda}.
1. (a) Déterminer le domaine de définition {D_\lambda} de {f_\lambda}. Placer soigneusement, les uns par rapport aux autres, les réels de {\mathbb R\setminus D_\lambda}.
1. (b) Montrer qu’on peut prolonger {f_\lambda} par continuité aux points {0} et {4}. Dans la suite, on supposera que {f_\lambda} est ainsi prolongée.
2. (a) Étudier la dérivabilité de {f_\lambda} en {0} et en {4} (on donnera l’allure de {C_\lambda}).
2. (b) Étudier les asymptotes verticales de la courbe {C_\lambda}.
2. (c) Étudier l’application {f_\lambda} au voisinage de {\pm\infty}. On vérifiera notamment que {C_\lambda} est asymptote à une parabole quand {\lambda=0}, et à une droite quand {\lambda\ne0}. On précisera l’équation de l’asymptote et le placement de la courbe par rapport à celle-ci.
3. (a) Étudier les variations de l’application {g_\lambda} définie par {4g_\lambda(x)=\left(\lambda+\ln\left|\frac{x}{x-4}\right|\right)^2f_\lambda'(x)}
3. (b) En discutant suivant {\lambda}, déterminer le signe de {f_\lambda'} par intervalles. En déduire les tableaux de variation de {f_\lambda} dans les cas suivants : {\lambda>2}, {\lambda=2}, {0\lt\lambda\lt2}, {\lambda=0}, {\lambda\lt0}.
3. (c) Construire les courbes pour {\lambda=3}, {\lambda=2}, {\lambda=1}, {\lambda=0}, {\lambda=-2}.