On définit une fonction {f} par {f(x)=\exp(-1/x)} si {x\ne0}, et {f(0)=0}.
1. Étudier les variations de {f} et construire son graphe {\Gamma} dans un repère orthonormé. On précisera le point d’inflexion {I} et la demi-tangente au point d’arrêt.
2. (a) Déterminer le point {A} de {\Gamma}, distinct de {O}, en lequel la tangente à {\Gamma} passe par {O}.
2. (b) Montrer qu’il existe deux points de {\Gamma}, distincts de {A}, et deux seulement, en lesquels la tangente à {\Gamma} est parallèle à {OA}. On notera {\alpha} et {\beta} ({\alpha\lt\beta}) les abscisses de ces points, qu’on ne demande pas de calculer.
On définit {g} sur {\mathbb R\setminus\{-\sqrt e,\sqrt e\}} par {g(x)=1/(1-2\ln|x|)} si {x\ne0}, et {g(0)=0}.
3. (a) Étudier les variations et tracer le graphe {C} de {g} dans un repère orthonormé (unité {2} cm). On précisera la concavité de {C}.
3. (b) Montrer que {g(x)=x\Longleftrightarrow x\in\{\alpha,\beta,0,1\}}.
3. (c) Étudier {g(x)-x} sur {[0,1]}. En déduire {\begin{array}{l}0\lt x\lt\beta\Longrightarrow x\lt g(x)\lt\beta\\[4pt]\beta\lt x\lt1\Longrightarrow\beta\lt g(x)\lt x\end{array}}
3. (d) On définit la suite {(u_n)_{n\ge0}} par {0\lt u_0\lt1} et {u_{n+1}=g(u_n)}. Montrer qu’elle converge vers {\beta}.
3. (e) Calculer {\beta} à {10^{-2}} près, avec successivement {u_0=0,2} et {u_0=0,4} (on fera figurer les résultats intermédiaires).
3. (f) Montrer que {-2,10\lt\alpha\lt-2,09}.