Pour tout réel {\lambda}, on définit l’application {f_\lambda} par {f_\lambda(x)=(x-\lambda)^x}.
On note {C_\lambda} la courbe représentative de {f_\lambda}.
1. Préciser le domaine de définition {D_\lambda} de {f_\lambda}, ainsi que la limite {\ell_\lambda=\lim\limits_{x\to\lambda^+}f_\lambda(x)} dans {\overline{\mathbb R}}.
2. Quand {\ell_\lambda} est finie, étudier l’allure de {C_\lambda} au voisinage de {(\lambda,\ell_\lambda)}.
On note {u_\lambda} l’application définie sur {D_\lambda} par {f_\lambda^{\prime}(x)=u_\lambda(x)f_\lambda(x)}.
3. (a) Si {\lambda\lt0}, montrer que {u_\lambda} ne s’annule qu’une seule fois.
En déduire le tableau des variations de {f_\lambda} dans ce cas.
En déduire le tableau des variations de {f_\lambda} dans ce cas.
3. (b) Étudier les variations de {f_\lambda} quand {\lambda=0}.
4. (a) Étudier les variations de {u_\lambda} quand {\lambda>0}. En déduire que :
– Si {\lambda>e^{-2}}, alors {u_\lambda(x)>0} pour tout {x} de {D_\lambda}.
– Si {\lambda=e^{-2}}, alors {u_\lambda(x)\geq0} sur {D_\lambda} et ne s’annule qu’en un seul point.
– Si {0\lt\lambda\lt e^{-2}}, alors {u_\lambda(x)} s’annule en {\mu_1,\mu_2}, avec {\lambda\lt\mu_1\lt2\lambda\lt\mu_2}.
– Si {\lambda>e^{-2}}, alors {u_\lambda(x)>0} pour tout {x} de {D_\lambda}.
– Si {\lambda=e^{-2}}, alors {u_\lambda(x)\geq0} sur {D_\lambda} et ne s’annule qu’en un seul point.
– Si {0\lt\lambda\lt e^{-2}}, alors {u_\lambda(x)} s’annule en {\mu_1,\mu_2}, avec {\lambda\lt\mu_1\lt2\lambda\lt\mu_2}.
4. (b) En déduire les différents tableaux de variations possibles pour {f_\lambda} quand {\lambda>0}.
5. Étudier le placement respectif des courbes {y=f_{\lambda_1}(x)} et {y=f_{\lambda_2}(x)}, avec {\lambda_1\lt\lambda_2}.
6. Construire sur un même graphique les représentations graphiques des applications {f_\lambda} pour chacun des cas rencontrés dans ce problème.