Dérivées successives
Dans ce problème, {f} désigne l’application définie sur {I=]-1,1[} par {f(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}}.
Pour {n} dans {\mathbb N} et {x} dans {I}, on pose {f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(1-x^2)^{n+\frac12}}}On admettra que si une égalité de fonctions polynômes (de la variable {x}, et à coefficients réels ou complexes) est vraie sur un intervalle d’intérieur non vide (par exemple sur {I}), alors elle est vraie sur {\mathbb R} tout entier, et même sur {\mathbb C} tout entier (cette dernière remarque ne sert que dans la question 8).
1. Préciser {P_0(x)}, {P_1(x)} et {P_2(x)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
2. Prouver la relation, pour {n\geq0} et {x\in\mathbb R} : {\begin{array}{l}P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)\\[4pt]\phantom{P_{n+1}(x)=}{}+(1-x^2)P'_n(x)\quad(E_1)\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3. En déduire que {P_n} est un polynôme dont on précisera le terme de degré maximum. Montrer par ailleurs que le polynôme {P_n} a la parité de {n}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
4. Pour tout {x} de {I}, on a {(1-x^2)f'(x)=xf(x)}. En déduire la relation suivante entre {P_{n+1}}, {P_n} et {P_{n-1}}, pour {n\geq1}, {x\in\mathbb R} : {\begin{array}{l}P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)\\[4pt]\phantom{P_{n+1}(x)=}{}+n^2(1-x^2)P_{n-1}(x)\quad(E_2)\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5. (a) Prouver que, pour {n\geq1} et {x\in\mathbb R}, {P'_n(x)=n^2P_{n-1}(x)\quad(E_3)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5. (b) En dérivant {(E_1)}, montrer que les polynômes {P_n} satisfont à l’équation différentielle, pour {n\geq0} et {x\in\mathbb R} : {\begin{array}{l}(1-x^2)P''_n(x)+(2n-1)xP'_n(x)\\[4pt]\quad{}-n^2P_n(x)=0\quad(E_4)\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
6. (a) Montrer que pour {0\leq k\leq n} on a {P_n^{(k)}=\left(\dfrac{n!}{(n-k)!}\right)^2P_{n-k}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
6. (b) Prouver que {P_{2k}(0)=\left(\dfrac{(2k)!}{2^kk!}\right)^2} pour tout {k} de {\mathbb N} (utiliser {(E_2)}).
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Dans la question 7, {n} est un entier fixé.
7. (a) Justifier qu’on puisse écrire {P_n} sous la forme {P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_kx^{n-2k}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
7. (b) Montrer alors que {a_k=\dfrac{P_n^{(n-2k)}(0)}{(n-2k)!}} pour {0\leq k\leq n/2}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
7. (c) Déduire de ce qui précède (questions 6 et 7) une expression de {a_k}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Soit {g} l’application définie sur {\mathbb R} par {g(x)=\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}}. Pour {n\in\mathbb N} et {x\in\mathbb R}, on pose {Q_n(x)=i^nP_n(ix),\quad g^{(n)}(x)=\frac{R_n(x)}{(1+x^2)^{n+1/2}}}
8. (a) Montrer que {Q_n} est un polynôme de degré {n} et l’écrire sous une forme analogue à celle obtenue en 7(a) pour le polynôme {P_n}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
8. (b) Préciser {Q_0}, {Q_1}, {R_0} et {R_1}. Pour tout {n} de {\mathbb N}, montrer que {R_n=Q_n} (indication : reprendre la question 4).
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
9. On note {\begin{array}{l}\arcsin x=\displaystyle\sum_{k=0}^n\alpha_kx^{2k+1}+o(x^{2n+2})\\[4pt]\operatorname{argsh}x=\displaystyle\sum_{k=0}^n\beta_kx^{2k+1}+o(x^{2n+2})\end{array}}les développements limités des applications {\arcsin} et {\operatorname{argsh}=\operatorname{sh}^{-1}} à l’origine et à l’ordre {2n+2}. Calculer l’expression de {\alpha_k} et de {\beta_k} en fonction de {k}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :