(Oral X Mp/Mpi)
Soit {A:\mathbb R\to\mathcal M_2(\mathbb R)} continue. On considère le système {X'=A(t)X}.
| Question a) Justifier l’existence d’une application continue {R_A} telle que toute solution vérifie {X(t_1)=R_A(t_0,t_1)X(t_0)}. |
| Question b) Si {\operatorname{tr}A(t)=0} pour tout {t}, montrer que {\det R_A(t_0,t_1)=1}. |
| Question c) Si {A} est de période {1}, montrer que {R_A(n,0)=R_A(1,0)^n} pour {n\in\mathbb Z}. |
| Question d) On suppose désormais {A} de période {1} et de trace nulle. S’il existe une solution non nulle bornée sur {\mathbb R}, montrer que {|\operatorname{tr}R_A(1,0)|\leqslant2}. |
| Question e) Si {|\operatorname{tr}R_A(1,0)|\lt 2}, montrer que toutes les solutions sont bornées sur {\mathbb R}. |