(Oral X Mp/Mpi)
Soient {A} une algèbre complexe unitaire et {\|\cdot\|} une norme sur {A}. Sauf dans la question b), on suppose {\|xy\|\leqslant\|x\|\,\|y\|}. Pour {a\in A}, on pose {S(a)=\{\lambda\in\mathbb C:a-\lambda1_A\notin A^\times\}}, où {A^\times} est le groupe des inversibles. Les sous-algèbres et morphismes sont considérés unitaires.
| Question a) On se place dans le cas où {A=\mathbb R^X}, avec {X} fini non vide. Soit {f\in A}. Montrer que {S(f)} est fini et l’expliciter. |
| Question b) On considère une sous-algèbre {A} de {\mathcal M_n(\mathbb C)}, munie de {\|M\|=\max_{1\leqslant i\leqslant n}\sum_{j=1}^n|m_{ij}|}. Montrer que {S(M)} est fini pour tout {M\in A}. |
| Question c) On suppose {A} de dimension finie. Montrer que {S(a)} est compact pour tout {a\in A}. |
| Question d) On suppose que dans {A} toute série absolument convergente est convergente. Montrer que {S(a)} est compact pour tout {a\in A}. |
| Question e) On revient au cas où {A} est de dimension finie. Montrer que tout morphisme d’algèbres de {A} dans {\mathbb C} est {1}-lipschitzien. |