Série convergeant rapidement vers π

On note {U(X)=X(1-X)} et, pour {n\in\mathbb N}, {J_n=\int_0^1U^n(x)\,dx=\int_0^1x^n(1-x)^n\,dx}Les questions [P] utilisent Python.

1. (a) [P] Écrire U(n) renvoyant {U^n} comme objet poly1d. Vérifier pour {n=3}.

1. (b) [P] Écrire J(n) calculant {J_n} et afficher les valeurs pour {0\le n\le10}. Les comparer à {(n!)^2/(2n+1)!}.

2. (a) Rappeler la formule de Taylor avec reste intégral sur {[a,b]} pour {f\in C^{n+1}}.

2. (b) Appliquer cette formule à une fonction bien choisie pour calculer {J_n}.

On divise {U^4(X)} par {X^2+1} : le quotient est noté {Q} et le reste {R}.

3. (a) [P] Calculer {Q} et montrer que {R=-4}, avec Python ou à la main.

3. (b) [P] Vérifier que {\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}7-\pi}En déduire {3958/1260\lt\pi\lt3959/1260}.

4. (a) Prouver {\frac4{1+x^2}=\frac{Q(x)}{1+U^4(x)/4}}.

4. (b) Justifier {\pi=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac14\right)^n\mu_n,\quad\mu_n=\int_0^1Q(x)U^{4n}(x)\,dx}

On utilise désormais la définition de {Q}, plutôt que sa forme développée. On pose {S(X)=(Q(X)+Q(1-X))/2}.

5. (a) Factoriser {X^4+4} sur {\mathbb R}.

5. (b) En déduire {Q(X)=(X^2-2X+2)(U^2+2U+2)}.

5. (c) Montrer que {S=3+U-U^2/2-U^3}.

6. (a) Déduire de 5. (c) que {\mu_n=3J_{4n}+J_{4n+1}-J_{4n+2}/2-J_{4n+3}}.

6. (b) Observer que {J_n=\varphi(n)J_{n+1}}, où {\varphi(n)=2(2n+3)/(n+1)}.

6. (c) [P] Établir {\mu_n=F(n)J_{4n+3}}, où {F(n)=\frac{8(820n^3+1533n^2+902n+165)}{(2n+1)(4n+1)(4n+3)}}

7. (a) Déterminer des équivalents de {J_n} et de {\mu_n}.

7. (b) Pour le reste {R_n} après le terme d’indice {n} de la série de 4. (b), montrer {R_n=o(1000^{-n})}.