(Oral X Mp/Mpi)
Soient {\mathbb K} un sous-corps de {\mathbb C}, {n\geqslant2} et {J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}. On note {C(J)=\{M\in\mathcal M_2(\mathbb K):MJ=JM\}} et {\Gamma_n=\{M\in\mathcal M_2(\mathbb K):M^n=J\}}.
Note de transcription. Dans la définition de {C(J)}, le PDF écrit {AJ=JA} ; la lettre correcte est {M}.
| Question a) Déterminer {C(J)}. Vérifier que c’est une sous-algèbre commutative de la {\mathbb K}-algèbre {\mathcal M_2(\mathbb K)}. |
| Question b) Montrer que, si {\mathbb K=\mathbb R}, la {\mathbb R}-algèbre {C(J)} est isomorphe à {\mathbb C}. Déterminer {\Gamma_n}. |
| Question c) Montrer que, si {\mathbb K=\mathbb Q}, la {\mathbb Q}-algèbre {C(J)} est isomorphe à {\mathbb Q[i]}. Déterminer {\Gamma_n}. On admet que les éléments d’ordre fini de {\mathbb Q[i]^{\star}} sont {\pm1,\pm i}. |
| Question d) Montrer que, si {\mathbb K=\mathbb C}, la {\mathbb C}-algèbre {C(J)} est isomorphe à {\mathbb C\times\mathbb C}. Déterminer {\Gamma_n}. |