Exercice 1
On définit la fonction {f:x\mapsto e^{1/x}\sqrt{|x(x+2)|}}.
1. Préciser le domaine de définition, de continuité, de dérivabilité de {f}.
2. Indiquer les limites de {f} aux bornes de son domaine de définition.
Préciser l’allure de la courbe {y=f(x)} au voisinage de {x=-2} et au voisinage de {x=0}.
Préciser l’allure de la courbe {y=f(x)} au voisinage de {x=-2} et au voisinage de {x=0}.
3. Étudier le sens de variations de {f}, et dresser son tableau de variations.
4. Étudier l’existence d’une asymptote oblique quand {x\to-\infty} ou quand {x\to+\infty}.
Donner le placement de la courbe par rapport à cette asymptote.
Donner le placement de la courbe par rapport à cette asymptote.
5. Étudier la concavité de {f} et préciser les points d’inflexion.
6. Tracer soigneusement la courbe représentative de {f}.
Exercice 2
On considère l’application {f} définie par {f(x)=|\tan x|^{\cos x}}.
1. Indiquer le domaine de définition de {f}. Que dire de la dérivabilité de {f} sur ce domaine ?
Montrer qu’on peut réduire l’étude de {f} à l’intervalle {]0,\pi[}.
Pour tout {x} de {]0,\pi/2[}, comparer {f(\pi-x)} et {f(x)}. Que peut-on en déduire ?
Montrer qu’on peut réduire l’étude de {f} à l’intervalle {]0,\pi[}.
Pour tout {x} de {]0,\pi/2[}, comparer {f(\pi-x)} et {f(x)}. Que peut-on en déduire ?
2. Montrer que l’application {f} peut être prolongée par continuité en {x=0} et en {x=\pi/2}.
3. Étudier le sens de variations de {f} sur {[0,\pi/2]}, et dresser son tableau de variations.
On donnera une valeur approchée de l’abscisse {x_0} pour laquelle {f^{\prime}(x_0)=0}.
Procéder à une étude analogue sur {[\pi/2,\pi]}.
On donnera une valeur approchée de l’abscisse {x_0} pour laquelle {f^{\prime}(x_0)=0}.
Procéder à une étude analogue sur {[\pi/2,\pi]}.
4. Préciser l’allure de la courbe {y=f(x)} au voisinage de {x=0} et de {x=\pi/2}.
5. Tracer soigneusement la courbe représentative de {f} sur un intervalle contenant {[0,\pi]}.
Exercice 3
On considère l’application {f} définie par {f(x)=x^{x^2/(x^2-1)}}.
1. Indiquer le domaine de définition de {f}. Que dire de la dérivabilité de {f} sur ce domaine ?
Préciser les limites de {f} aux bornes de son domaine de définition.
Préciser les limites de {f} aux bornes de son domaine de définition.
2. Étudier le sens de variations de {f} et dresser son tableau de variations.
3. Indiquer l’allure de la courbe {y=f(x)} au voisinage de {x=0}, de {x=1}, et de {+\infty}.
4. Tracer soigneusement la courbe représentative de {f}.
Exercice 4
1. Montrer que pour tout {x>-1} (et {x\ne0}) : {\exists!\theta_x\in]0,1[} tel que {\ln(1+x)=\dfrac{x}{1+\theta_xx}}.
2. On définit l’application {f} par {f(x)=\theta_x}.
Préciser la dérivabilité de {f}, et donner les limites de {f} aux bornes de son domaine.
Préciser la dérivabilité de {f}, et donner les limites de {f} aux bornes de son domaine.
3. Étudier le sens de variations de {f} et dresser son tableau de variations.
4. Indiquer l’allure de la courbe {y=f(x)} au voisinage de {x=0} et de {x=-1}.
5. Tracer soigneusement la courbe représentative de {f}.