1. On pose {u_1=2} et, pour tout {n\in\mathbb N^*}, {u_{n+1}=2-\dfrac1{u_n}}. Calculer {u_n} pour tout {n\in\mathbb N^*}.
2. On considère la matrice {A=(a_{ij})\in\mathcal M_n(\mathbb R)} définie par {A=\begin{pmatrix}2&-1&0&\cdots&0\\[4pt]-1&2&-1&\ddots&\vdots\\[4pt]0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\[4pt]\vdots&\ddots&-1&2&-1\\[4pt]0&\cdots&0&-1&2\end{pmatrix}}On pose {A_1=A} et, pour {i\in\{1,\ldots,n-1\}}, on obtient {A_{i+1}} à partir de {A_i} en effectuant l’opération {L_{i+1}\leftarrow L_{i+1}+\frac1{u_i}L_i}Déterminer {A_n}. En déduire que {A} est inversible.
3. On considère le système {AX=Y}, où {X} et {Y} sont les colonnes de composantes respectives {x_1,\ldots,x_n} et {y_1,\ldots,y_n}. On définit {y'_1=y_1} et, pour {i\in\{1,\ldots,n-1\}}, {y'_{i+1}=y_{i+1}+\frac1{u_i}y'_i}Pour tout {i\in\{1,\ldots,n\}}, montrer que {AX=Y} équivaut à {A_iX=Y'_i}, où {Y'_i=\begin{pmatrix}y'_1\\[4pt]\vdots\\[4pt]y'_i\\[4pt]y_{i+1}\\[4pt]\vdots\\[4pt]y_n\end{pmatrix}}
4. On suppose maintenant que {Y} est défini par {y_k=1} et {y_i=0} pour {i\ne k}, où {k\in\{1,\ldots,n\}}.
(a) Calculer les {y'_i} pour {i\in\{1,\ldots,n\}}.
(b) Déterminer la solution du système {AX=Y}.
5. En déduire {A^{-1}}.
6. Avec les notations de la question 2, déterminer deux matrices {L} et {U} telles que {A=LU}, où {L} est triangulaire inférieure à coefficients diagonaux égaux à {1}, et {U} triangulaire supérieure.
7. On souhaite calculer le déterminant {\Delta_n} de la matrice {A}.
(a) Calculer {\Delta_n} en utilisant les résultats précédents.
(b) Retrouver directement ce résultat à l’aide d’une relation de récurrence sur {n}.