Comme d’habitude, {\mathbb K} désigne {\mathbb R} ou {\mathbb C}. Soit {(u_n)} une suite de {\mathbb K}.
Pour tous entiers naturels {n} et {p}, on note {M(n,p)=\begin{pmatrix}u_n&u_{n+1}&\cdots&u_{n+p}\\[4pt]u_{n+1}&u_{n+2}&\cdots&u_{n+p+1}\\[4pt]\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[4pt]u_{n+p}&u_{n+p+1}&\cdots&u_{n+2p}\end{pmatrix}}La matrice {M(n,p)} appartient donc à {\mathcal M_{p+1}(\mathbb K)}.
Par exemple, pour tout {n\in\mathbb N}, {M(n,0)=(u_n)}, {M(n,1)=\begin{pmatrix}u_n&u_{n+1}\\[4pt]u_{n+1}&u_{n+2}\end{pmatrix}}et {M(n,2)=\begin{pmatrix}u_n&u_{n+1}&u_{n+2}\\[4pt]u_{n+1}&u_{n+2}&u_{n+3}\\[4pt]u_{n+2}&u_{n+3}&u_{n+4}\end{pmatrix}}On note {\Delta(n,p)=\det M(n,p)}.
Pour tout entier {p\geqslant0}, on note {S_p} l’ensemble des suites {(u_n)} de {\mathbb K} telles que le déterminant {\Delta(n,p)} soit nul pour tout entier naturel {n}.
L’objet de ce problème est d’étudier les suites {(u_n)} de {S_p}.
Partie I
Soit {A} une matrice carrée d’ordre {n} à coefficients dans {\mathbb K}, avec {n\geqslant2}. On note {\operatorname{Com}A} la comatrice de {A}.
1. Rappeler la valeur du produit {(\operatorname{Com}A)^{\mathsf T}A}.
3. Si on note {A_{ij}} le cofacteur d’indice {(i,j)} de la matrice {A}, montrer que {\det A=0} entraîne, pour tous {i,j,k,l\in\{1,\ldots,n\}}, {A_{ik}A_{jl}-A_{il}A_{jk}=0}
3. On suppose qu’il existe {p+1} scalaires non tous nuls {a_0,a_1,\ldots,a_p} tels que, pour tout entier naturel {n}, {a_0u_n+a_1u_{n+1}+\cdots+a_pu_{n+p}=0}Montrer alors que la suite {(u_n)} est élément de {S_p}.
Dans cette partie, {p} est un entier fixé supérieur ou égal à {1}.
On suppose que la suite {(u_n)} est un élément de {S_p}. On suppose qu’il existe un entier {n_0} strictement positif tel que le déterminant {\Delta(n_0,p-1)} soit non nul.
1. Montrer que pour tout {n\in\mathbb N}, {\begin{array}{l}\Delta(n+2,p-1)\Delta(n,p-1)\\[4pt]\hspace{1em}-\Delta^2(n+1,p-1)=0\end{array}}
3. Montrer que pour tout entier {n\in\mathbb N}, la matrice {\operatorname{Com}M(n,p)} est de rang {1}. Montrer également que sa première et sa dernière lignes sont non identiquement nulles.
4. Montrer que pour tout {k\in\{1,\ldots,n\}}, la dernière ligne de {\operatorname{Com}M(k,p)} est égale ou opposée à la première ligne de {\operatorname{Com}M(k-1,p)}.
6. En développant {\Delta(n,p)}, montrer qu’il existe {p+1} scalaires {a_0,a_1,\ldots,a_p}, avec {a_0\ne0} et {a_p\ne0}, tels que {\forall n\in\mathbb N,\quad a_0u_n+a_1u_{n+1}+\cdots+a_pu_{n+p}=0}
1. Déterminer les suites {(u_n)} telles que pour tout {n\in\mathbb N}, {\begin{vmatrix}u_n&u_{n+1}&u_{n+2}\\[4pt]u_{n+1}&u_{n+2}&u_{n+3}\\[4pt]u_{n+2}&u_{n+3}&u_{n+4}\end{vmatrix}=0}avec {u_0=2}, {u_1=1}, {u_2=3}, {u_3=4}.
2. Pour tous entiers naturels {n} et {p}, calculer le déterminant {D(n,p)=\begin{vmatrix}n^2&(n+1)^2&\cdots&(n+p)^2\\[4pt](n+1)^2&(n+2)^2&\cdots&(n+p+1)^2\\[4pt]\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[4pt](n+p)^2&(n+p+1)^2&\cdots&(n+2p)^2\end{vmatrix}}