(Oral Ens Mp/Mpi)
On achète successivement des images indépendantes, uniformément réparties parmi {N} types. On note {Y_k} le type de la {k}-ième image. On pose {T_0=0} et : {T_i=\inf\left\{k\geqslant1:\operatorname{card}\left\{Y_1,\ldots,Y_k\right\}=i\right\}.}
| Question a) Interpréter {T_i} et {T_N}. Montrer que {T_i} est une variable aléatoire discrète. |
| Question b) On pose {X_i=T_i-T_{i-1}}. Montrer que les {X_i} sont indépendantes et préciser leurs lois. |
| Question c) Calculer l’espérance et la variance de {T_N}, puis en donner des équivalents. |
| Question d) Montrer que, pour tout {\varepsilon>0} : {\mathbb P\left(\left|\dfrac{T_N}{N\log N}-1\right|>\varepsilon\right)\longrightarrow0.} |
| Question e) Pour {i\in\left\{1,\ldots,N\right\}}, on note {A_{i,m}} l’événement « le type {i} n’apparaît pas parmi les {m} premiers achats ». Calculer sa probabilité et montrer que, pour {x\geqslant0} : {\mathbb P(T_N\geqslant N\log N+xN+1)\leqslant e^{-x}.} |