On définit {U_0=1}, {U_n=X^n(X-1)^n/n!} pour {n\geq1}, et {P_n=U_n^{(n)}} pour {n\geq0}.
1. Quelques propriétés immédiates
1. (a) Expliciter {P_0,P_1,P_2,P_3}.
1. (b) Montrer {P_n(1-X)=(-1)^nP_n(X)}. Qu’en déduire pour la courbe de {P_n} ?
1. (c) Montrer que {P_n} est de degré {n}, à coefficients entiers. Préciser ses coefficients dominant et constant, puis {P_n(1)}.
2. Deux relations
2. (a) Vérifier {(X^2-X)U'_n=n(2X-1)U_n} et en déduire { (X^2-X)P''_n+(2X-1)P'_n-n(n+1)P_n=0}
2. (b) Vérifier {U'_{n+1}=(2X-1)U_n} et, pour {n\geq1}, {U''_{n+1}=2(2n+1)U_n+U_{n-1}}. En dérivant respectivement {n} et {n-1} fois, montrer { (n+1)P_{n+1}-(2n+1)(2X-1)P_n+nP_{n-1}=0}
3. Propriété intégrale
3. (a) Pour {f\in\mathcal C^n([0,1])}, montrer par intégrations par parties {\int_0^1U_n(t)f^{(n)}(t)\,dt=(-1)^n\int_0^1P_n(t)f(t)\,dt}En déduire que {\deg Q\lt\deg P_n} implique {\int\limits_0^1P_nQ=0}.
3. (b) Calculer {\int\limits_0^1t^n(t-1)^m\,dt} pour {m,n\in\mathbb N}. En déduire {\int\limits_0^1U_n(t)\,dt=(-1)^nn!/(2n+1)!}.
3. (c) Prouver {\int\limits_0^1P_nP_m=0} si {m\ne n} et {\int\limits_0^1P_n^2=1/(2n+1)}.
4. Propriété génératrice
4. (a) Pour {P\in\mathbb R_n[X]}, montrer par récurrence qu’il existe des réels {\lambda_0,\ldots,\lambda_n} tels que {P=\sum\limits_{k=0}^n\lambda_kP_k}.
4. (b) Montrer {\lambda_k=(2k+1)\int\limits_0^1P(t)P_k(t)\,dt}.
5. Racines des polynômes
Pour {n\geq1}, on va montrer par deux méthodes que {P_n} possède {n} racines distinctes dans {]0,1[}.
5. (a) Soit {S=\{x_1,\ldots,x_p\}} l’ensemble des racines de multiplicité impaire dans {]0,1[}. Supposer {p\lt n} et utiliser 3(a) avec {Q=\prod\limits_{k=1}^p(X-x_k)}, ou {Q=1} si {S} est vide.
5. (b) Revenir à la définition de {P_n} et utiliser le théorème de Rolle.
6. Minoration hors de [0,1]
Désormais {n\geq1} est fixé et {x_1\lt\cdots\lt x_n} désignent les racines de {P_n}.
6. (a) Montrer {x_{n+1-k}=1-x_k} et en déduire {P_n(x)^2=\binom{2n}n^2\prod_{k=1}^n\bigl(x(x-1)+x_k(1-x_k)\bigr)}
6. (b) Prouver {\binom{2n}n\geq4^n/(2n+1)}. En déduire, pour {x\leq0} ou {x\geq1}, {|P_n(x)|\geq\frac1{2n+1}\bigl(4\sqrt{x(x-1)}\bigr)^n}
7. Interpolation polynomiale
7. (a) Montrer qu’il existe un unique {L_k} de degré au plus {n-1}, valant {1} en {x_k} et {0} aux autres {x_j}. Donner son expression factorisée.
7. (b) Montrer {P=\sum\limits_{k=1}^nP(x_k)L_k} pour {P\in\mathbb R_{n-1}[X]}.
7. (c) Posons {\ell_k=\int\limits_0^1L_k(t)\,dt}. Pour {P\in\mathbb R_{2n-1}[X]}, prouver {\int_0^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^n\ell_kP(x_k)}Indication : diviser {P} par {P_n}, puis utiliser l’orthogonalité et 7(b).
7. (d) Prouver {\ell_j\gt0} en appliquant la question précédente à {L_j^2}.
8. Quadratures de Gauss
Pour {f} continue, on considère {\int\limits_0^1f(t)\,dt\approx\sum\limits_{k=1}^n\ell_kf(x_k)}. Cette formule est exacte pour les polynômes de degré au plus {2n-1}. On suppose maintenant {f\in\mathcal C^{2n}([0,1])}.
8. (a) Montrer qu’il existe un unique {P\in\mathbb R_{2n-1}[X]} tel que {P(x_k)=f(x_k)} et {P'(x_k)=f'(x_k)} pour tout {k}. Indication : écrire {P=QP_n+R} avec {Q,R\in\mathbb R_{n-1}[X]}.
8. (b) Pour tout {t\in[0,1]}, montrer qu’il existe {c\in]0,1[} tel que {f(t)-P(t)=\frac{(n!)^4}{((2n)!)^3}f^{(2n)}(c)P_n(t)^2}Indication : pour {t} distinct des {x_k}, poser {\varphi(x)=f(x)-P(x)-\lambda P_n(x)^2}, avec {\varphi(t)=0}.
8. (c) Avec {M_{2n}=\sup\limits_{[0,1]}|f^{(2n)}|}, montrer {\left|\int_0^1f(t)\,dt-\sum_{k=1}^n\ell_kf(x_k)\right|\leq\frac{M_{2n}(n!)^4}{((2n)!)^3(2n+1)}}
8. (d) Que devient le majorant pour {n=5} ?
9. Illustrer librement les résultats précédents avec Maple pour {n=5}.