(Oral Ens Mp/Mpi)
Question a)
Énoncer et démontrer le théorème de Cesàro. |
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Question b)
Pour {n\in\mathbb{N}} et {t\in\mathbb{R}}, on pose : {D_n(t)=\sum_{k=-n}^{n}e^{ikt},\quad K_n(t)=\dfrac{1}{n+1}\sum_{j=0}^{n}D_j(t)}Calculer {\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_n(t)\mathrm{d}t}. |
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Question c)
Montrer que {K_n(t)\geqslant0} pour tous {n\in\mathbb{N}} et {t\in\mathbb{R}}. |
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Question d)
Montrer que l’on peut écrire : {D_n(t)=\dfrac{2\sin(nt)}{t}+R_n(t),}où la famille {(R_n)} est uniformément bornée sur {[-\pi,\pi]}. |
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Question e)
Montrer que : {\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|D_n(t)|\mathrm{d}t=\dfrac{4}{\pi^{2}}\ln n+O(1).} |
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