(Oral Ens Mp/Mpi)
On note {E} l’ensemble des fonctions continues et {2\pi}-périodiques de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}. Pour {0\leqslant r\lt 1}, on pose : {P(r,\theta)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}r^{|k|}e^{ik\theta},}le terme d’indice {0} étant égal à {1}. Pour {f\in E}, on définit : {A_r(f)(x)=\dfrac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P(r,x-\theta)f(\theta)\mathrm{d}\theta.}
| Question a) Montrer que {A_r(f)\in E}. |
| Question b) Montrer que : {\lVert A_r(f)-f\rVert_\infty\longrightarrow0\quad(r\rightarrow1^-).} |
| Question c) Sur le disque unité fermé {D}, on définit : {\widetilde f(re^{i\theta})=\left\{\begin{array}{ll}A_r(f)(\theta)&\text{si }0\leqslant r\lt 1,\\[6pt]f(\theta)&\text{si }r=1.\end{array}\right.}Montrer que {\widetilde f} est continue sur {D}, de classe {\mathcal{C}^2} sur son intérieur et de laplacien nul. |