(Oral X Mp/Mpi)
Pour {n\in\mathbb N^\star}, on pose : {K_n(t)=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{m=-k}^k e^{2i\pi mt}.}Un polynôme trigonométrique est une combinaison linéaire finie des fonctions {t\mapsto e^{2i\pi mt}}, avec {m\in\mathbb Z}.
| Question a) Donner une expression simplifiée de {K_n(t)}. |
| Question b) Soit {\varepsilon\in]0,1/2[}. Montrer que {K_n\to0} uniformément sur {[\varepsilon,1-\varepsilon]}. |
| Question c) Soit {f:\mathbb R\to\mathbb C} continue et {1}-périodique. Pour {n\geqslant1}, posons {p_n(t)=\int_0^1K_n(t-s)f(s)\,ds}. Montrer que les {p_n} sont des polynômes trigonométriques et convergent uniformément vers {f} sur {\mathbb R}. |