(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {\mathcal{H}\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})}, croissante en sa première variable et décroissante en sa deuxième variable, telle que {\mathcal{H}(0,0)=0}.
Soient {h,\tau,\varepsilon>0}. On définit {f^{\varepsilon}:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}} par : {\begin{array}{rl}f^{\varepsilon}(a,b,c)&=b-\tau\mathcal{H}\left(\dfrac{b-a}{h},\dfrac{c-b}{h}\right)\\[8pt]&\quad+\dfrac{\tau\varepsilon}{h^{2}}(a-2b+c).\end{array}}On note {\ell^{\infty}(\mathbb{Z})} l’espace des suites réelles bornées indexées par {\mathbb{Z}}, et l’on pose : {\begin{array}{l}F^{\varepsilon}(u)=\left(F^{\varepsilon}(u)_i\right)_{i\in\mathbb{Z}},\\[8pt]F^{\varepsilon}(u)_i=f^{\varepsilon}(u_{i-1},u_i,u_{i+1}).\end{array}}Pour {L>0}, on définit : {D_L=\left\{u\in\ell^{\infty}(\mathbb{Z}):\ \sup_{i\in\mathbb{Z}}\left|\dfrac{u_{i+1}-u_i}{h}\right|\leqslant L\right\}.}Les suites sont ordonnées terme à terme.
| Question a) Montrer que {F^{\varepsilon}} est bien définie. |
| Question b) Donner une condition suffisante pour que, si {u,v\in D_L} et {u\leqslant v}, alors {F^{\varepsilon}(u)\leqslant F^{\varepsilon}(v)}. On supposera cette condition vérifiée dans la suite. |
| Question c) Montrer que {u\in D_L} implique {F^{\varepsilon}(u)\in D_L}. |
| Question d) i) Soit {u\in\ell^{\infty}(\mathbb{Z})} à termes positifs ou nuls. On définit implicitement {v^{\varepsilon}} par : {v^{\varepsilon}_i=F^{\varepsilon}(u)_i-\tau\left(e^{v^{\varepsilon}_i/\varepsilon}-1\right).}Montrer que {v^{\varepsilon}} est bien définie et à termes positifs ou nuls. |
| Question d) ii) On suppose de plus {u\in D_L}. Montrer que {v^{\varepsilon}\in D_L}. |
| Question d) iii) Montrer que {v^{\varepsilon}} converge simplement lorsque {\varepsilon\rightarrow0^{+}} et déterminer sa limite. |