(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {a\lt b}.
| Question a) Montrer qu’il existe une constante absolue {C_1} telle que, pour tout {\lambda>0} et toute fonction {\varphi\in\mathcal{C}^{1}([a,b],\mathbb{R})} dont la dérivée est monotone et vérifie {|\varphi'|\geqslant\lambda}, on ait : {\left|\int_a^be^{i\varphi(t)}\mathrm{d}t\right|\leqslant\dfrac{C_1}{\lambda}.} |
| Question b) Soit {k\geqslant2}. Montrer qu’il existe une constante {C_k}, dépendant seulement de {k}, telle que, pour tout {\lambda>0} et toute fonction {\varphi\in\mathcal{C}^{k}([a,b],\mathbb{R})} vérifiant {|\varphi^{(k)}|\geqslant\lambda}, on ait : {\left|\int_a^be^{i\varphi(t)}\mathrm{d}t\right|\leqslant\dfrac{C_k}{\lambda^{1/k}}.} |