(Oral Ens Mp/Mpi)
On admet la formule de Taylor-Lagrange : si {m\geqslant1} et si {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}} est {m+1} fois dérivable, il existe {c\in]a,b[} tel que : {\begin{array}{rl}f(b)&=\displaystyle\sum_{k=0}^{m}\dfrac{(b-a)^{k}}{k!}f^{(k)}(a)\\[10pt]&\quad+\dfrac{(b-a)^{m+1}}{(m+1)!}f^{(m+1)}(c).\end{array}}
| Question a) Soient {n\geqslant1}, {f:I\rightarrow\mathbb{R}} une fonction {n} fois dérivable, et {x} un point intérieur à {I}. Montrer que, pour {h>0} assez petit, il existe {\theta(h)\in[0,1]} tel que : {\begin{array}{rl}f(x+h)&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{h^{k}}{k!}f^{(k)}(x)\\[10pt]&\quad+\dfrac{h^{n}}{n!}f^{(n)}(x+\theta(h)h).\end{array}} |
| Question b) On suppose de plus que {f} est {n+1} fois dérivable en {x} et que {f^{(n+1)}(x)\neq0}. Montrer que : {\theta(h)\longrightarrow\dfrac{1}{n+1}\qquad(h\rightarrow0^{+}).} |