1. Pour {t\gt-1} et {n\geq2}, vérifier {(1+t)^n\geq1+nt}, avec égalité si et seulement si {t=0}.
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Dans la question 2, {x\in\mathbb R} est fixé. On pose {u_n(x)=(1+x/n)^n} pour {n\geq1}, et {v_n(x)=(1-x/n)^{-n}} pour {n\gt|x|}.
2. (a) À l’aide de la question précédente, montrer que {(u_n(x))_{n\gt|x|}} est croissante, strictement si {x\ne0}.
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2. (b) Étudier de même la monotonie de {(v_n(x))_{n\gt|x|}}.
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2. (c) Prouver {0\leq v_n(x)-u_n(x)\leq v_n(x)x^2/n} pour {n\gt|x|}. En déduire que les suites sont adjacentes.
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3. On note {\exp(x)} la limite commune des deux suites. Vérifier {\exp(0)=1}, puis {\exp(x)\gt0} et {\exp(x)\exp(-x)=1} pour tout {x}.
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4. (a) Soit {(\lambda_n)} une suite réelle tendant vers {0}. Montrer que, pour {n} assez grand, {1+\lambda_n\leq\left(1+\frac{\lambda_n}n\right)^n\leq\frac1{1-\lambda_n}}et en déduire que la puissance tend vers {1}.
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4. (b) Montrer que {\exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}. Indication : utiliser {\lambda_n} tel que {\left(1+\frac xn\right)\left(1+\frac yn\right)=\left(1+\frac{\lambda_n}n\right)\left(1+\frac{x+y}n\right)}
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5. (a) Pour {-1\lt x\lt1}, montrer {1+x\leq\exp(x)\leq1/(1-x)}.
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5. (b) En déduire que l’exponentielle est dérivable en {0}, de dérivée {1}.
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5. (c) Montrer que l’exponentielle est dérivable sur {\mathbb R} et que {\exp'=\exp}.
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6. (a) Pour {x\gt0}, montrer que {n\mapsto(1+x/n)^n} est croissante dès {n=1}.
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6. (b) En déduire, pour {n\in\mathbb N}, {\lim\limits_{x\to+\infty}\exp(x)/x^n=+\infty} et {\lim\limits_{x\to-\infty}x^n\exp(x)=0}.
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6. (c) Montrer que l’exponentielle est une bijection de {\mathbb R} sur {\mathbb R_+^*}. On note {\ln} sa bijection réciproque, appelée logarithme népérien.
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6. (d) Pour {x,y\gt0}, montrer {\ln(xy)=\ln x+\ln y}.
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