(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} une fonction continue, strictement croissante, vérifiant : {\forall\,x\in\mathbb{R},\quad f(x+1)=f(x)+1.}On note {\mathbb{U}} le cercle unité et l’on définit {\Phi=\varphi(f)} par : {\Phi(e^{2i\pi x})=e^{2i\pi f(x)}.}
| Question a) Montrer que {\Phi} est bien définie et bijective de {\mathbb{U}} dans {\mathbb{U}}. |
| Question b) On s’intéresse au comportement de {\dfrac{f^{\circ n}(x)-x}{n}}, où {f^{\circ n}} désigne la {n}-ième itérée de {f}. Étudier le cas {f(x)=x+\alpha}, puis le cas défini sur {[0,1[} par : {f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{3x}{2}&\text{si }0\leqslant x\lt \dfrac12,\\[10pt]\dfrac{x+1}{2}&\text{si }\dfrac12\leqslant x\lt 1,\end{array}\right.}et prolongé par {f(x+1)=f(x)+1}. Décrire les applications {\Phi} correspondantes. |
| Question c) Montrer que {\dfrac{f^{\circ n}(x)-x}{n}} converge vers une limite indépendante de {x}. |