(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {s\in\mathbb{N}^{\star}}, {0\leqslant c_1\lt\cdots\lt c_s\leqslant1} et {b_1,\ldots,b_s\in\mathbb{R}}.
Pour {p\geqslant1}, on dit que le couple des nœuds et des poids vérifie {(R_p)} si : {\forall\,P\in\mathbb{R}_{p-1}[X],\;\displaystyle\int_0^1P(t)\mathrm{d}t=\displaystyle\sum_{i=1}^{s}b_iP(c_i)}
| Question a) Montrer que {(R_p)} équivaut aux égalités : {\forall\,k\in\llbracket1,p\rrbracket,\quad \sum_{i=1}^{s}b_ic_i^{k-1}=\dfrac{1}{k}.} |
| Question b) Les nœuds étant fixés, montrer qu’il existe une unique liste de poids vérifiant {(R_p)}, et l’expliciter. |
| Question c) Soit {p} impair. On suppose {(R_p)} vérifiée et les nœuds symétriques : {c_i=1-c_{s+1-i}.}Montrer que {(R_{p+1})} est vérifiée. |