(Oral X Mp/Mpi)
Soient {q>1}, {Q\in\mathbb C[X]} avec {Q(0)=1}, et {f} analytique près de zéro. On pose {D(z)=\operatorname{diag}(Q(z),Q(z)^{-1})} et {A(z)=D(qz)\exp(f(z)E_{12})D(z)^{-1}}. On cherche les fonctions matricielles {V}, analytiques, triangulaires supérieures et inversibles près de zéro, telles que {V(qz)=A(z)V(z)}. Leur ensemble est noté {\mathcal E}. Toutes les égalités s’entendent dans un voisinage assez petit de zéro.
| Question a) Montrer que {\det V} est constant. |
| Question b) Se ramener au cas où {Q} est constant. |
| Question c) Relier le problème à l’équation {\varphi(z)-\varphi(qz)=f(z)}. |
| Question d) Discuter l’existence et l’unicité de {\varphi}, puis décrire {\mathcal E} par trois paramètres. |
| Question e) Reprendre l’étude en dimension trois, avec {Q_1(0)\!=\!Q_2(0)\!=v1}, {D\!=v\operatorname{diag}(Q_1,Q_2/Q_1,1/Q_2)} et {A\!=\!D(qz)\exp(f_2(z)E_{23})\exp(f_1(z)E_{12})D(z)^{-1}} |