Pour tout réel {\lambda}, on définit la fonction {f_\lambda} par :
{f_\lambda(x)=x\sqrt{\left|\frac{x-1}{\lambda x+1}\right|}}On note {C_\lambda} la courbe représentative de {f_\lambda}.
1. Donner le domaine de définition {D_\lambda} de {f_\lambda}.
2. Sur {D_\lambda}, {f_\lambda} est-elle continue, dérivable ?
3. Étudier l’allure de la courbe {C_\lambda} quand {x} tend vers l’infini. Le cas échéant, on précisera l’équation de l’asymptote, et le placement de {C_\lambda} par rapport à celle-ci.
4. Étudier le sens de variation de {f_\lambda} et dresser son tableau de variation.
On sera amené à distinguer les cas suivants :
{\begin{array}{l}\lambda\lt-9,\quad\lambda=-9,\quad-9\lt\lambda\lt-1,\\[4pt]\lambda=-1,\quad-1\lt\lambda\lt0,\quad\lambda=0,\quad\lambda>0\end{array}}
On sera amené à distinguer les cas suivants :
{\begin{array}{l}\lambda\lt-9,\quad\lambda=-9,\quad-9\lt\lambda\lt-1,\\[4pt]\lambda=-1,\quad-1\lt\lambda\lt0,\quad\lambda=0,\quad\lambda>0\end{array}}
5. Montrer que l’ensemble {\Gamma} des points à tangente horizontale des courbes {C_\lambda} est une partie (à déterminer exactement) de la courbe {C} de l’application {x\mapsto\varphi(x)=x\sqrt{|2x-1|}}.
6. Montrer qu’une transformation géométrique simple permet de déduire {C} de {C_0}.
7. Préciser la concavité de {C_0}.
8. Étudier les positions respectives des courbes {C_\lambda}.
9. Représenter sur un même graphique les courbes {C_{-20}}, {C_{-9}}, {C_{-2}}, {C_{-1/2}}, {C_0}, {C_5}.
NB : utiliser un repère orthogonal (unité 5 cm sur {Ox} et 2 cm sur {Oy}).
NB : utiliser un repère orthogonal (unité 5 cm sur {Ox} et 2 cm sur {Oy}).