Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère les trois points {M_1(0,0)}, {M_2(1,1)}, {M_3(-2,0)}. On va étudier par différentes méthodes l’ajustement du « nuage » {(M_1,M_2,M_3)} par une droite.
On désigne par {\delta} une direction donnée du plan et par {D} une droite non parallèle à {\delta}, d’équation {y=ax+b}. On projette les points {M_1,M_2,M_3} sur {D} dans la direction {\delta} ; on note {m_1,m_2,m_3} les points obtenus.
Dans la question 1, {\delta} est la direction de l’axe {Oy}. On cherche la droite {D} rendant minimale {f(a,b)=M_1m_1+M_2m_2+M_3m_3}.
1. (a) Calculer les distances {M_1m_1}, {M_2m_2}, {M_3m_3}.
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1. (b) Le nombre réel {b} est fixé. En discutant suivant {b}, étudier {\varphi(x)=|2x-b|+|x+b-1|}. Montrer que {\varphi} passe par un minimum pour {x=b/2}.
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1. (c) En déduire l’existence et l’unicité d’un couple {(a_1,b_1)} minimisant {f(a,b)}. Identifier la droite {D} d’équation {y=a_1x+b_1}.
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Dans la question 2, {\delta} est encore la direction de {Oy}. On cherche la droite {D} minimisant {g(a,b)=\max(M_1m_1,M_2m_2,M_3m_3)}.
2. (a) On définit {E_1} par {|y|\leq1/3}, {E_2} par {|y-2x|\leq1/3}, et {E_3} par {|x+y-1|\leq1/3}. Montrer que {E_1\cap E_2\cap E_3} se réduit au seul couple {(1/3,1/3)}.
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2. (b) Prouver l’existence et l’unicité d’une droite {D} minimisant {g(a,b)}.
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3. La direction {\delta} est toujours celle de {Oy}. On cherche la droite {D} minimisant {h(a,b)=(M_1m_1)^2+(M_2m_2)^2+(M_3m_3)^2}.
À {a} fixé, montrer que {b\mapsto h(a,b)} admet un minimum en un point unique que l’on précisera. En déduire l’existence et l’unicité d’une droite {D} minimisant {h}.
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Dans la question 4, {\lambda} est un réel donné, distinct de {a}, et {\delta} est la direction {y=\lambda x}. On cherche à minimiser {h_\lambda(a,b)=\sum\limits_{k=1}^3(M_km_k)^2}.
4. (a) Exprimer {h_\lambda(a,b)} en fonction de {a,b,\lambda}.
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4. (b) Dans cette question et la suivante, {\lambda} est fixé et différent de {2/7}. À {a} donné, pour quelle valeur de {b} la fonction {b\mapsto h_\lambda(a,b)} est-elle minimale ? En déduire que {h_\lambda} est minimal lorsque {\theta(a)=\dfrac{7a^2-4a+1}{(a-\lambda)^2}} est minimal.
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4. (c) Étudier les variations de {\theta}.
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4. (d) En déduire l’existence et l’unicité d’un couple {(a_4,b_4)} conduisant à la plus petite valeur possible pour {h_\lambda}. Expliciter {a_4} et {b_4} en fonction de {\lambda}.
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4. (e) Montrer qu’une telle droite {D} (d’équation {y=ax+b}) n’existe pas si {\lambda=2/7}.
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4. (f) Toujours si {\lambda=2/7}, vérifier l’existence d’une droite {D} solution mais d’équation {x=\alpha} : le minimum est obtenu en projetant parallèlement à {y=\lambda x} sur une droite verticale.
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Dans la question 5, {n} est un entier strictement positif. On se donne un nuage de {n} points {M_k(x_k,y_k)}, non tous alignés. On pose {\begin{array}{l}\bar x=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k,\quad\bar y=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^ny_k\\[4pt]\overline{x^2}=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k^2,\quad\overline{y^2}=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^ny_k^2\\[4pt]\overline{xy}=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^nx_ky_k\end{array}}On définit {v(x)=\overline{x^2}-\bar x^2}, {v(y)=\overline{y^2}-\bar y^2} et {\operatorname{cov}(x,y)=\overline{xy}-\bar x\bar y}.
Soit {m_k} la projection de {M_k} sur {D:y=ax+b}, parallèlement à {Oy}. On cherche le couple {(a,b)} minimisant {H(a,b)=\sum\limits_{k=1}^n(M_km_k)^2}.
5. (a) En considérant {\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\bar x)^2}, montrer que {v(x)\gt0}.
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5. (b) Quand on fixe {a}, montrer que {H(a,b)} est minimum lorsque {b=\bar y-a\bar x}. Comment interpréter ce résultat ?
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5. (c) Montrer que le calcul précédent conduit à {|\operatorname{cov}(x,y)|\lt\sqrt{v(x)v(y)}}.
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5. (d) En déduire l’unique couple {(a,b)} minimisant {H}. Quelle est la valeur de ce minimum ?
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6. On projette maintenant les {n} points sur {D:y=ax+b}, parallèlement à {y=\lambda x}, où {\lambda} est fixé et distinct de {a}. Pour chaque {\lambda}, étudier l’existence d’un couple {(a,b)} minimisant {H_\lambda(a,b)=\sum\limits_{k=1}^n(M_km_k)^2} et donner, le cas échéant, la valeur du minimum. On pourra poser {v=v(x)}, {w=v(y)}, {c=\operatorname{cov}(x,y)}.
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