On définit la fonction {f} sur {[0,\pi]} par {f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{5-4\cos x}}}
Première partie
1. Déterminer le DL de {f} en {0} à l’ordre de {4}, et en {\pi} à l’ordre {2}.
2. Sur l’intervalle {[0,\pi]}, étudier le signe de {f(x)-\sin x} puis celui de {f(x)-x}. Pour quelles valeurs de {x} a-t-on {f(x)=x} ?
3. Étudier {f} et tracer sa courbe représentative. Montrer que {f([0,1/2])\subset[0,1/2]}.
4. Pour tout {x} de {]0,\pi[}, on pose {r(x)=1/f(x)-1/x} et {s(x)=1/f^2(x)-1/x^2}. Donner un équivalent de {r(x)} et de {s(x)} au voisinage de {0}.
Seconde partie
On définit la suite {(u_n)_{n\ge0}} par {u_0=u\in[0,\pi]} et {u_{n+1}=f(u_n)} pour tout {n\in\mathbb N}.
1. Montrer que la suite {(u_n)_{n\ge0}} est convergente et préciser sa limite.
On suppose maintenant que le terme initial {u} est distinct de {0} et de {\pi}.
2. Étant donné une suite réelle {(v_n)_{n\ge1}}, on pose {w_n=(v_1+\cdots+v_n)/n} pour {n\ge1}. Montrer que si {v_n\longrightarrow\ell\in\mathbb R}, alors {w_n\longrightarrow\ell}.
3. Déterminer {\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{u_{n+1}^2}-\frac1{u_n^2}\right)}et en déduire un équivalent de {u_n} quand {n\to\infty}.
4. On pose {f_n=f\circ\cdots\circ f} ({n} fois, avec {n\ge1}). Ainsi {u_n=f_n(u)} pour tout {n\ge1}. Comparer {f_n(x)} et {f_{n-1}(1/2)}, pour {n>1}. Calculer {\lim\limits_{n\to\infty}I_n}, avec {I_n=\int_0^\pi f_n(x)\,dx}.
Troisième partie
On définit l’application {g} par {g(x)=\arccos\frac{4-5\cos x}{5-4\cos x}}
1. Vérifier que {g} est définie sur {\mathbb R}. Calculer {\sin g(x)} et {\cos g(x)}.
2. Étudier les variations de {g} sur {[0,\pi]} et tracer la courbe. Préciser la concavité.
3. Montrer que {g} est une involution du segment {[0,\pi]}.
Soit {x\in[0,\pi/3]}.
4. (a) Montrer qu’il existe un unique {z\in[\pi/3,\pi]} tel que {f(z)=f(x)}. Déterminer une relation entre {\cos x} et {\cos z}. Prouver que {z=g(x)}.
4. (b) Calculer {\cos(x+z)} et {\cos(x-z)} en fonction de {x}.
4. (c) Calculer aussi {\cos((x+z)/2)} et {\cos((x-z)/2)} (poser {h(x)=x+g(x)} et {k(x)=x-g(x)}).
5. On sait que {f} est une bijection de {[0,\pi/3]} sur {[0,1/2]}. Déterminer une expression de sa bijection réciproque.