Au dix-septième siècle, des mathématiciens comme Huyghens et Snellius entreprirent de calculer des valeurs décimales approchées de {\pi} par des méthodes trigonométriques élémentaires. Il s’agissait d’améliorer la double inégalité classique {\sin x\lt x\lt\tan x}, valable sur {]0,\pi/2[}, en introduisant des fonctions qui s’expriment simplement à l’aide des fonctions trigonométriques usuelles et sont peu différentes de {x} au voisinage de {0}.
Les fonctions {f_1} et {f_4} de l’énoncé sont celles de Snellius ; {f_2} et {f_3} sont celles de Huyghens.
1. Soient {a,b} des réels positifs ou nuls. On pose {m(a,b)=(2a+b)/3} et {g(a,b)=\sqrt[3]{a^2b}}. Comparer {m(a,b)} et {g(a,b)}.
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Dans toute la suite, on définit sur {]-\pi/2,\pi/2[} les fonctions {\begin{array}{ll}f_1(x)=\dfrac{3\sin x}{2+\cos x},&f_2(x)=\dfrac{8\sin(x/2)-\sin x}{3}\\[4pt]f_3(x)=\sqrt[3]{\sin^2x\tan x},&f_4(x)=\dfrac{2\sin x+\tan x}{3}\end{array}}
2. Calculer les développements limités en {0} de ces fonctions, à l’ordre {5}. En déduire l’existence de {\eta>0} tel que {0\lt x\lt\eta\Longrightarrow f_1(x)\lt f_2(x)\lt x\lt f_3(x)\lt f_4(x)}
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3. On suppose ici que {x\in I=]0,\pi/2[}. Quel est le signe de {f_4(x)-f_3(x)} ?
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4. On pose {u(x)=3(2+\cos x)(f_2(x)-f_1(x))}. Linéariser {u(x)}. Montrer que {u'(x)=P(\cos(x/2))}, où {P} est un polynôme de degré {4}. Factoriser {P}. En déduire, pour {x\in I}, le signe de {u'(x)} puis celui de {f_2(x)-f_1(x)}.
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5. On pose {v(x)=x-f_2(x)}. Montrer que {v'(x)=Q(\cos(x/2))}, où {Q} est un polynôme. En déduire, pour {x\in I}, le signe de {v'(x)} puis celui de {v(x)}.
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6. On pose {w(x)=f_3(x)-x}. Calculer et factoriser {w'(x)}. En déduire, pour {x\in I}, le signe de {w(x)}. Quelle suite d’inégalités les questions 3 à 6 permettent-elles d’obtenir sur {I} ?
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7. Seules les valeurs des fonctions trigonométriques de {\pi/4} et {\pi/6} sont supposées connues. Calculer des expressions simples de {\cos(\pi/12)}, {\sin(\pi/12)} et {\tan(\pi/12)}. Faire de même avec {\sin(\pi/24)} à l’aide de radicaux superposés. Calculer les expressions par radicaux de {X=12f_2(\pi/12)} et {Y=12f_3(\pi/12)}. En déduire un encadrement de {\pi}.
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