On désigne par {a,b:[0,1]\to\mathbb R} deux applications continues, avec {a(t)\geq0}. Soient {\lambda,\mu\in\mathbb R}. On considère le problème aux limites {f''(t)=a(t)f(t)+b(t),\quad f(0)=\lambda,\quad f(1)=\mu}On suppose qu’il admet une solution {f}, de classe {\mathcal C^4} sur {[0,1]}. On note {M_2(f)=\sup\limits_{[0,1]}|f''|} et {M_4(f)=\sup\limits_{[0,1]}|f^{(4)}|}.
L’objectif est d’étudier une méthode d’approximation de {f}. Les parties I et II sont indépendantes.
Première partie
Soit {g\in\mathcal C^2([\alpha,\beta],\mathbb R)}, avec {\alpha\lt\beta}, {g(\alpha)=g(\beta)=0}. On pose {M_2(g)=\sup\limits_{[\alpha,\beta]}|g''|}.
I.1. (a) Montrer que {|g(t)|\leq\dfrac{(t-\alpha)(\beta-t)}2M_2(g)} pour tout {t\in[\alpha,\beta]}.
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I.1. (b) En déduire {\sup\limits_{[\alpha,\beta]}|g|\leq\dfrac{(\beta-\alpha)^2}8M_2(g)}.
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I.2. On ne suppose plus {g(\alpha)=g(\beta)=0}. Prouver {\sup_{[\alpha,\beta]}|g|\leq\frac{(\beta-\alpha)^2}8M_2(g)+\max(|g(\alpha)|,|g(\beta)|)}
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On fixe {n\in\mathbb N}, on pose {h=1/(n+1)} et {t_k=kh} pour {0\leq k\leq n+1}. On dispose d’approximations {u_k} de {f(t_k)} et on note {\delta_n=\max_{0\leq k\leq n+1}|u_k-f(t_k)|}On définit {\varphi_n} par {\varphi_n(t_k)=u_k}, avec {\varphi_n} affine sur chaque {[t_k,t_{k+1}]}.
I.3. Montrer que {\sup\limits_{[0,1]}|f-\varphi_n|\leq M_2(f)/(8(n+1)^2)+\delta_n}.
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Deuxième partie
On fixe {n\geq2}, des réels {\alpha_1,\ldots,\alpha_n\geq2} et {\beta_1,\ldots,\beta_n}. On considère le système tridiagonal {(S)} : {\begin{cases}\alpha_1u_1-u_2=\beta_1\\[4pt]-u_{k-1}+\alpha_ku_k-u_{k+1}=\beta_k\quad(2\leq k\leq n-1)\\[4pt]-u_{n-1}+\alpha_nu_n=\beta_n\end{cases}}
II.1. Montrer qu’on définit {n} réels {\gamma_k\in]0,1]} par {\gamma_1=\frac1{\alpha_1},\quad\gamma_{k+1}=\frac1{\alpha_{k+1}-\gamma_k}\quad(1\leq k\lt n)}
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II.2. On définit {v_1=\beta_1\gamma_1} et {v_{k+1}=(\beta_{k+1}+v_k)\gamma_{k+1}}. Montrer que {(S)} admet une solution unique, donnée par {u_n=v_n,\quad u_k=v_k+\gamma_ku_{k+1}\quad(1\leq k\lt n)\quad(\Sigma)}
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II.3. Montrer que {\max_{1\leq k\leq n}|u_k|\leq\frac{(n+1)^2}2\max_{1\leq k\leq n}|\beta_k|}
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Troisième partie
III.1. Soit {t\in]0,1[} et {h\gt0} tel que {[t-h,t+h]\subset[0,1]}. Montrer {|f(t+h)+f(t-h)-2f(t)-h^2f''(t)|\leq\frac{h^4}{12}M_4(f)}
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III.2. Avec les notations de I.3, montrer qu’il existe des réels {\varepsilon_k}, {1\leq k\leq n}, tels que {\begin{array}{l}-f(t_{k-1})+(2+h^2a(t_k))f(t_k)-f(t_{k+1})\\[4pt]=-h^2b(t_k)+\varepsilon_k,\quad |\varepsilon_k|\leq h^4M_4(f)/12\end{array}}
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On connaît {u_0=\lambda=f(t_0)} et {u_{n+1}=\mu=f(t_{n+1})}. Pour approcher les valeurs intérieures, on résout {-u_{k-1}+(2+h^2a(t_k))u_k-u_{k+1}=-h^2b(t_k)}pour {1\leq k\leq n}.
III.3. (a) Indiquer comment calculer successivement {u_n,u_{n-1},\ldots,u_1}.
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III.3. (b) Préciser le système vérifié par {w_k=f(t_k)-u_k}. En déduire {\max_{1\leq k\leq n}|f(t_k)-u_k|\leq\frac{M_4(f)}{24(n+1)^2}}
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III.4. Avec {\varphi_n} définie en I.3, trouver {K} tel que {\sup\limits_{[0,1]}|f-\varphi_n|\leq K/(n+1)^2}. Conclusion ?
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