Pour {x\in\mathbb R\setminus\mathbb Z}, on pose {S_N(x)=\sum_{n=-N}^N\frac1{x+n}=\frac1x+\sum_{n=1}^Nu_n(x),\quad u_n(x)=\frac{2x}{x^2-n^2}}Les questions [P] utilisent Python.
1. (a) [P] Écrire une fonction
S(N,x) renvoyant {S_N(x)}.1. (b) [P] Écrire
plotS(N,a,b) traçant {S_N} sur {[a,b]}, avec environ 200 abscisses et des ordonnées entre {-5} et {5}. Tracer {S_4} sur {]-4,4[} puis {]-8,8[}.2. (a) Montrer que {(S_N)} converge simplement sur {\mathbb R\setminus\mathbb Z}. On note {S} sa limite.
2. (b) Montrer la convergence normale sur tout compact de {\mathbb R\setminus\mathbb Z}. En déduire que {S} est continue, impaire et de période {1}.
3. (a) Montrer que {S_N(x/2)+S_N((x+1)/2)=2S_{2N}(x)+\frac2{x+2N+1}}
3. (b) En déduire {S(x/2)+S((x+1)/2)=2S(x)}.
La fonction {\cotan t=\cos t/\sin t} est définie pour {t\notin\pi\mathbb Z}. Pour {x\notin\mathbb Z}, on pose {f(x)=\pi\cotan(\pi x)-S(x)}.
4. (a) Vérifier que {f} possède les propriétés de 2. (b) et satisfait à l’équation fonctionnelle de 3. (b).
4. (b) Montrer que {f} se prolonge continûment en {0}, puis sur {\mathbb R}. On garde la notation {f}.
5. (a) Justifier l’existence de {a\in]0,1[} tel que {f(a)=M=\max\limits_{x\in\mathbb R}|f(x)|}.
5. (b) Montrer que {f(a/2)=M}.
5. (c) En déduire que {f} est identiquement nulle.
6. Conclure et vérifier avec Python.