(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}} une fonction de classe {\mathcal{C}^2}, coercive et strictement convexe.
| Question a) Montrer que {f} admet un minimum en un unique point {x^\star}. |
| Question b) Soit {x:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^n} de classe {\mathcal{C}^1}, vérifiant : {x(0)=x_0,\qquad x'(t)=-\nabla f(x(t)).}Montrer que {x(t)\rightarrow x^\star}. |
| Question c) On suppose qu’il existe {\alpha>0} tel que : {\forall\,y,v\in\mathbb{R}^n,\quad v^{\mathsf T}\nabla^2f(y)v\geqslant\alpha\lVert v\rVert^2.}Montrer que, pour tout {t\geqslant0} : {f(x(t))-f(x^\star)\leqslant e^{-2\alpha t}\bigl(f(x_0)-f(x^\star)\bigr).} |