(Oral X Mp/Mpi)
| Question Soit {C\subset\mathbb R^2\setminus\{0\}} une partie symétrique par rapport à {0}, rencontrant chaque demi-droite {\{\lambda u:\lambda\in\mathbb R^+\}}, pour {u\neq0}, en exactement un point. On note {G(C)} l’ensemble des endomorphismes {f} tels que {f(C)=C}. On suppose : (i) pour tous {u,v\in C}, il existe une symétrie linéaire {s\in G(C)} telle que {s(u)=v} ; (ii) pour tout {u\in C}, il existe une unique symétrie dans {G(C)} d’axe {\operatorname{Vect}(u)}. Démontrer que {C} est l’image du cercle unité de {\mathbb R^2} par un automorphisme linéaire. |