Soit {a\gt1}. Pour {n\in\mathbb N^*}, on définit sur {\mathbb R_+} {g_n(x)=x(x-1)\cdots(x-n)a^{-x}}On veut étudier son maximum sur {[n,+\infty[}.
Première partie
On examine ici le cas {n=1}.
I.1. (a) Étudier les variations de {g'_1/g_1}. On note {u\lt v} ses deux zéros.
I.1. (b) Dresser le tableau de variations de {g_1} et étudier la branche infinie de son graphe.
Dans la question 2, on prend {a=2}.
I.2. (a) Calculer à {10^{-5}} près {u,v,g_1(u),g_1(v)}.
I.2. (b) Construire le graphe de {g_1} (unités : {2{,}5} cm sur {Ox} et {10} cm sur {Oy}).
Deuxième partie
Soit {f\in\mathcal C^2([-1,1],\mathbb R)} et {M=\max\limits_{[-1,1]}|f''|}. Soit {\beta\geq0}. On approche {\int\limits_0^1f(t)\,dt} par {n^{-1}\sum\limits_{k=1}^nf((k-\beta)/n)}, avec {n\geq1} et {n\geq\beta}.
Pour {1\leq k\leq n}, on pose {\begin{array}{l}R_1(k,n)=f(k/n)-f((k-\beta)/n)-\dfrac\beta n f'(k/n)\\[4pt]R_2(k,n)=\displaystyle\int_{(k-1)/n}^{k/n}f(t)\,dt-\dfrac1nf(k/n)+\dfrac1{2n^2}f'(k/n)\end{array}}
II.1. (a) Par Taylor-Lagrange, montrer {|R_1(k,n)|\leq A/n^2}, avec {A=\beta^2M/2}.
II.1. (b) Montrer {|R_2(k,n)|\leq B/n^3}, avec {B=M/6}.
II.2. (a) Posons {\begin{array}{l}R_3(k,n)=\displaystyle\int_{(k-1)/n}^{k/n}f(t)\,dt-\dfrac1nf((k-\beta)/n)\\[4pt]\phantom{R_3(k,n)=}{}-\dfrac{\beta-1/2}{n}\bigl(f(k/n)-f((k-1)/n)\bigr)\end{array}}Prouver {|R_3(k,n)|\leq C/n^3}, où {C=A+B+(M/2)|\beta-1/2|}.
II.2. (b) Posons {\Delta_n=\int_0^1f(t)\,dt-\frac1n\sum_{k=1}^nf((k-\beta)/n)-\frac{\beta-1/2}{n}(f(1)-f(0))}Prouver {|\Delta_n|\leq C/n^2}.
Troisième partie
On revient à la fonction {g_n} dans le cas général.
III.1. Pour {x\gt n}, calculer {h_n(x)=g'_n(x)/g_n(x)}. Montrer que {g'_n} s’annule en un unique {x_n}, étudier son signe et poser {M_n=g_n(x_n)}.
Pour {\alpha\gt1}, on considère {f_\alpha(x)=1/(\alpha-x)}.
III.2. (a) Déterminer {\alpha} en fonction de {a} pour avoir {h_n(n\alpha)=\frac1{n\alpha}+\frac1n\sum_{k=1}^nf_\alpha(k/n)-\int_0^1f_\alpha(t)\,dt}
III.2. (b) Vérifier {h_n(n\alpha+\beta)=\frac1{n\alpha+\beta}-\frac{\beta-1/2}{n}(f_\alpha(1)-f_\alpha(0))-\Delta_n}où {\Delta_n} est celui de II.2 pour {f=f_\alpha}.
III.2. (c) Montrer {\lim_{n\to\infty}nh_n(n\alpha+\beta)=\frac{\alpha-\beta-1/2}{\alpha(\alpha-1)}}
III.3. Montrer qu’à partir d’un certain rang {n\alpha\leq x_n\leq(n+1)\alpha}, en étudiant les signes de {h_n} aux deux bornes.
III.4. (a) Posons {y_n=\dfrac1n\ln\prod\limits_{k=0}^n\dfrac{x_n-k}n}. En utilisant l’encadrement précédent et II.2(b) pour {f(x)=\ln(\alpha-x)}, avec {\beta=0} puis {\beta=\alpha}, montrer {y_n\longrightarrow\int_0^1\ln(\alpha-x)\,dx}
III.4. (b) Calculer cette intégrale.
III.4. (c) Montrer finalement que {\sqrt[n]{M_n}/n\to1/(e(a-1))}.