Soient {a\lt b}, {c=(a+b)/2} et {f\in\mathcal C^2([a,b],\mathbb R)}. On note {M_2=\sup\limits_{[a,b]}|f''|}, {\Gamma} sa courbe dans un repère orthonormé, et {A,B,C} ses points d’abscisses {a,b,c}.
1. Rappeler l’approximation de l’intégrale de {f} sur {[a,b]} par la méthode du trapèze, son interprétation géométrique et un majorant de l’erreur absolue.
2. (a) Justifier {|f(x)-f(c)-(x-c)f'(c)|\leq M_2(x-c)^2/2} pour {x\in[a,b]}.
2. (b) En déduire {\left|\int_a^bf(x)\,dx-(b-a)f(c)\right|\leq\frac{M_2}{24}(b-a)^3}L’approximation {\int_a^bf\approx(b-a)f(c)} est appelée règle du point moyen.
2. (c) Donner une interprétation géométrique du point moyen. Déduire de 1 et 2 un encadrement de l’intégrale selon que {f} est convexe ou concave.
2. (d) Pour {n\geq1}, posons {c_k=a+(k+1/2)(b-a)/n}, {0\leq k\lt n}. Majorer l’erreur absolue dans {\int_a^bf(x)\,dx\approx\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f(c_k)}
On pose {\begin{array}{l}J(f)=\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx-(b-a)f(c)\\[4pt]\phantom{J(f)=}{}-\dfrac{(b-a)^2}{24}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)\end{array}}
3. (a) Calculer {J(f)} pour {f(x)=1}, {x}, {x^2} et {x^3}.
3. (b) En déduire {J(f)} pour tout polynôme de degré au plus {3}.
Soit {g:[-\omega,\omega]\to\mathbb R} impaire, de classe {\mathcal C^5}, avec {\omega\gt0}. Soit {N_5} un majorant de {|g^{(5)}|} et {u\in[-\omega,\omega]}.
4. (a) Calculer {K(u)=\int\limits_0^u(u-t)^2(u^2+2ut-t^2)\,dt}.
4. (b) Prouver {g(u)=ug'(0)+\frac{u^3}6g^{(3)}(0)+\frac1{24}\int_0^u(u-t)^4g^{(5)}(t)\,dt}
4. (c) Établir {g''(u)=ug^{(3)}(0)+\frac12\int\limits_0^u(u-t)^2g^{(5)}(t)\,dt}.
4. (d) En déduire {\left|g(u)-ug'(0)-\frac{u^2}6g''(u)\right|\leq\frac{7N_5}{360}|u|^5}
5. Supposons {f\in\mathcal C^4([a,b])} et {M_4=\sup\limits_{[a,b]}|f^{(4)}|}. En posant {g(u)=\int\limits_{c-u}^{c+u}f(x)\,dx}, montrer {|J(f)|\leq\frac{7M_4}{5760}(b-a)^5}Retrouver les résultats de 3.
6. Avec les milieux {c_k} de 2(d), majorer l’erreur absolue dans {\begin{array}{l}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\approx\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f(c_k)\\[4pt]\quad{}+\frac{(b-a)^2}{24n^2}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)\end{array}}Commenter.