Pour {n\in\mathbb N} et {x\in\mathbb R}, on définit {\begin{array}{l}U_n(x)=\dfrac{(x-x^2)^n}{n!},\quad L_n(x)=U_n^{(n)}(x)\\[4pt]R_n(x)=\displaystyle\int_0^1e^{xt}L_n(t)\,dt\end{array}}Les questions [P] utilisent Python.
1. (a) Calculer les coefficients de {L_n}.
1. (b) [P] Écrire
L(n) sous forme d’un objet poly1d. Vérifier les coefficients {[-252,630,-560,210,-30,1]} pour {n=5}.1. (c) [P] Écrire
plotL(n), traçant {L_n} sur {[0,1]} avec cent abscisses équidistantes.2. (a) Prouver que {R_n(x)=(-x)^n\int_0^1e^{xt}U_n(t)\,dt}.
2. (b) En déduire {|x^{n+1}R_n(x)|\leq |x|^{2n+1}e^{|x|}/(4^nn!)}.
3. (a) Montrer {x^{n+1}R_n(x)=Q_n(x)e^x-P_n(x)}, où {\begin{array}{l}P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^kL_n^{(k)}(0)x^{n-k}\\[4pt]Q_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^kL_n^{(k)}(1)x^{n-k}\end{array}}Indication : intégrations par parties répétées.
3. (b) Montrer l’unicité du couple {(P_n,Q_n)\in\mathbb R_n[X]^2} satisfaisant cette identité.
4. (a) Comparer {L_n(1-x)} et {L_n(x)}. Montrer que {Q_n(x)=P_n(-x)} et {P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(2n-k)!}{k!(n-k)!}x^k}
4. (b) [P] Écrire
P(n) sous forme poly1d. Vérifier {P_4} de coefficients {[1,20,180,840,1680]}.5. (a) Montrer qu’au voisinage de zéro, {e^x=F_n(x)+o(x^{2n})}, où {F_n(x)=P_n(x)/P_n(-x)}.
5. (b) Montrer que, sur {[-1,1]}, {\left|e^x-\frac{x^2+6x+12}{x^2-6x+12}\right|\leq\frac{|x|^5}{80}}
5. (c) [P] Écrire
test(n,x) calculant {e^x-F_n(x)}. Vérifier que test(5,1/2) vaut environ {-8\times10^{-14}}.5. (d) [P] Tracer {x\mapsto e^x-F_n(x)} sur {[-1/2,1/2]}. Estimer la qualité de l’approximation dès {n=4}.