Dans un repère orthonormé du plan euclidien, on fixe {a>b>0}, {c=\sqrt{a^2-b^2}} et {\mu=c/a}. L’ellipse {E} est paramétrée par {M(t)=(a\cos t,b\sin t)}, {-\pi\leq t\leq\pi}. On cherche une valeur approchée de sa longueur {L}. Les questions [P] utilisent Python.
1. [P] Tracer {E} avec cent valeurs de {t} et la même échelle sur les deux axes.
2. [P] On admet {L=4a\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\mu^2\sin^2t}\,dt}. Écrire
L(a,b) calculant une valeur approchée de cette longueur.On pose {g(x)=\sqrt{1-x}} sur {[0,1]} et {\alpha_k=\binom{2k}k/((2k-1)4^k)} pour {k\in\mathbb N}. En particulier {\alpha_0=-1}.
3. (a) [P] Écrire
alpha(k) et afficher les coefficients pour {0\leq k\leq10}.3. (b) Montrer que {g^{(k)}(x)=-k!\alpha_k(1-x)^{-k+1/2}} pour {x\lt1}.
3. (c) Montrer que, pour {n\geq1} et {0\leq x\lt1}, {g(x)+\sum_{k=0}^n\alpha_kx^k=-(n+1)\alpha_{n+1}\int_0^x\left(\frac{x-t}{1-t}\right)^n\frac{dt}{\sqrt{1-t}}}
3. (d) En déduire {\left|g(x)+\sum_{k=0}^n\alpha_kx^k\right|\leq\binom{2n}n\frac{x^n}{4^n}}
On admet {I_k=\int_0^{\pi/2}\sin^{2k}t\,dt=\pi\binom{2k}k/2^{2k+1}}. On pose {\beta_k=\frac{\mu^{2k}}{(2k-1)16^k}\binom{2k}k^2,\quad\ell_n=-2\pi a\sum_{k=0}^n\beta_k}
4. (a) Montrer que {|L-\ell_n|\leq\varepsilon_n}, où {\varepsilon_n=2\pi a\mu^{2n}\binom{2n}n^2/16^n}.
4. (b) Donner un équivalent de {\varepsilon_n} et en déduire {L=\lim_{n\to\infty}\ell_n=2\pi a\left(1-\sum_{k=1}^{+\infty}\beta_k\right)}
4. (c) [P] Écrire
beta(a,b,k) et ell(a,b,n).4. (d) [P] Pour {a=5}, {b=4}, afficher {\ell_n} pour {0\leq n\leq10}. Conclure.