Étude d’une somme de Riemann

Pour {n\geq2} et {d\geq1}, on note {r_d(n)} le reste de la division euclidienne de {n} par {d}. On pose {S_n=n^{-2}\sum\limits_{k=1}^nr_k(n)}. Les questions [P] utilisent Python.

1. (a) [P] Écrire S(n) renvoyant une valeur approchée de {S_n}.

1. (b) [P] Afficher {S(10000k)} pour {1\leq k\leq10} et conjecturer la nature de la suite.

2. Pour {f(x)=1-x\lfloor1/x\rfloor}, montrer que {S_n=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nf(k/n)}.

3. (a) [P] Tracer le graphe de {f} sur {]0,1]}.

3. (b) Montrer que {f} est intégrable sur {]0,1]}.

3. (c) Pour {u_n=\int_{1/n}^1f(t)\,dt}, calculer {u_n} et en déduire {\int_0^1f(t)\,dt}.

4. (a) Pourquoi le théorème du cours sur les sommes de Riemann ne s’applique-t-il pas directement ici ?

4. (b) Montrer que {\int_0^1f(t)\,dt-S_n=\sum_{k=1}^n\int_{(k-1)/n}^{k/n}(f(t)-f(k/n))\,dt}

4. (c) Soit {A_n} l’ensemble des {k\in\{1,\ldots,n\}} tels que {k\geq\sqrt n+1} et que {[n/k,n/(k-1)]} ne contienne aucun entier. Montrer, pour {k\in A_n}, que le module de l’intégrale de 4 (b) est au plus {1/(n\sqrt n)}.

4. (d) Montrer que {\left|\int_0^1f(t)\,dt-S_n\right|\leq\frac{3\sqrt n+1}{n}}

5. En déduire la limite de {S_n}.