Pour {s>1}, on pose {\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n^{-s}}. On admet, pour {z\in\mathbb C\setminus i\mathbb Z}, {\frac{e^{\pi z}+e^{-\pi z}}{e^{\pi z}-e^{-\pi z}}=\frac1{\pi z}+\frac{2z}\pi\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{z^2+n^2}}
1. Montrer que, pour {0\lt|z|\lt2}, {\frac z{e^{\pi z}-1}=-\frac z2+\frac1\pi+\frac2\pi\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}\zeta(2k)}{4^k}z^{2k}}
2. En déduire, pour {x\in]-2,2[\setminus\{0\}}, {\frac{ix^2}{e^{i\pi x}-1}=-\frac{ix^2}2+\frac x\pi-\frac2\pi\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\zeta(2k)}{4^k}x^{2k+1}}
3. Écrire comme somme d’une série numérique l’intégrale {J=\int_0^1x^2/(e^{i\pi x}-1)\,dx}, puis montrer que {J=\frac{7i}{2\pi^3}\zeta(3)-\frac16-\frac{i\ln2}\pi}