Une intégrale trigonométrique paramétrée
Pour tous réels {x,y} tels que {\cos x\ne\cos y}, et tout {n\in\mathbb N}, on pose {f_n(x,y)=\frac{\cos(nx)-\cos(ny)}{\cos x-\cos y}}Pour tout {y\in\mathbb R}, on pose {J_n(y)=\int_0^\pi f_n(x,y)\,dx}.
On définit les polynômes {T_0=1}, {T_1=X} et, pour {n\ge1}, {T_{n+1}+T_{n-1}=2XT_n}. On admet que {\deg T_n=n} et {T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)}.
1. (a) Prouver que {f_n} se prolonge en une application continue sur {\mathbb R^2}. Cela assure l’existence des intégrales {J_n(y)}.
1. (b) Montrer que {|\sin(n\theta)|\le n|\sin\theta|} pour tout {n\in\mathbb N} et tout réel {\theta}.
1. (c) En déduire que {|f_n(x,y)|\le n^2} sur {\mathbb R^2}.
On fixe {y\in\mathbb R} et {r\in]-1,1[}.
2. (a) Montrer que {\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}r^n\cos(n\theta)=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^2}\\[4pt]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}r^n\sin(n\theta)=\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^2}\end{array}}
2. (b) Établir {\displaystyle\int_0^\pi\frac{dx}{1-2r\cos x+r^2}=\frac\pi{1-r^2}}.
3. (a) Justifier l’intégration terme à terme sur {[0,\pi]} de {\sum\limits_{n=0}^{\infty}f_n(x,y)r^n}.
3. (b) Effectuer cette intégration et en déduire {\sum\limits_{n=0}^{\infty}J_n(y)r^n=\frac{\pi r}{1-2r\cos y+r^2}}.
3. (c) En déduire l’expression de {J_n(y)}.