On note {[x]} la partie entière de {x}. On étudie {S_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{[k\sqrt2]}}Les questions [P] utilisent Python.
1. (a) [P] Écrire
u(k) renvoyant {(-1)^{[k\sqrt2]}}.1. (b) [P] Écrire
listS(n) renvoyant {[S_1,\ldots,S_n]}. Vérifier le résultat pour {n=10}.1. (c) [P] Déterminer le plus petit entier {n} tel que {S_n=5}. Il est supérieur à {4000}.
2. Soient {\alpha,\beta} irrationnels strictement positifs tels que {1/\alpha+1/\beta=1}. Montrer que {[n/\alpha]+[n/\beta]=n-1\quad(n\ge1)}En déduire le théorème de Beatty : les ensembles {A_\alpha=\{[k\alpha]:k\ge1\}} et {A_\beta=\{[k\beta]:k\ge1\}} forment une partition de {\mathbb N^*}. Considérer les multiples dans {]0,n[}.
Dans la suite, {\alpha=\sqrt2}, {\beta=2+\sqrt2}. Pour {a,x>0}, on pose {\sigma(a,x)=\frac14+\sum_{k=1}^{[x/a]}(-1)^{[ka]}}Ainsi {S_n=\sigma(\alpha,n\alpha)-1/4}.
3. (a) [P] Écrire
sigma(a,x) renvoyant {\sigma(a,x)}.3. (b) [P] Posons {\varphi(x)=\sigma(\alpha,x)+\sigma(\beta,x)}. Tracer une cinquantaine de points sur {[0,10]} pour observer les deux valeurs {1/2} et {-1/2}. On admet ce résultat et notamment {|\sigma(\alpha,x)|\le|\sigma(\beta,x)|+\frac12}
3. (c) Poser {\lambda=\sqrt2-1} et montrer {\sigma(\beta,x)=\sigma(\alpha,\lambda x)}.
3. (d) En déduire {|\sigma(\alpha,x)|\le|\sigma(\alpha,\lambda^kx)|+k/2} pour {k\ge1}.
3. (e) Choisir {k} tel que {\lambda^kn\lt1} et montrer {|S_n|\le\frac{\ln n}{2\ln(\sqrt2+1)}+1}