On note, pour {x} réel, {f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{1-x^n}}.
1. Déterminer le domaine de définition de {f} et tracer quelques sommes partielles avec Python.
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2. Montrer que {f} est de classe {C^1} sur son domaine.
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3. Posons {\psi(x)=e^{-x}/(1-e^{-x})}. Déterminer un équivalent de {B(u)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\psi(nu)} lorsque {u\to0^+}.
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4. En déduire un équivalent de {f} en {1}.
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5. Soit {F_0=0}, {F_1=1}, {F_{n+2}=F_{n+1}+F_n}. Exprimer {F_n} en fonction de la racine négative {\beta} de {X^2-X-1}, puis établir {\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{F_{2n}}=\sqrt5\bigl(f(\beta^2)-f(\beta^4)\bigr)}
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