Les questions [P] doivent être traitées avec Python ; les questions [P?] peuvent l’être, mais un calcul à la main convient également.
Pour {n\in\mathbb N} et {x\in\mathbb R}, on pose {P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^nx^k/k!}. On admet que {P_n(n)\sim e^n/2}. Pour {n\geq1}, on définit {w_n=e^{-n}\left(P_n(n)-\frac{n^n}{2n!}\right)}L’objectif est de montrer que {(w_n)} converge et qu’elle est décroissante.
1. Compte tenu de l’indication de l’énoncé, montrer que {(w_n)} converge vers {1/2}.
2. (a) [P] Écrire
P(n,x) à partir de la définition, avec des puissances et des factorielles. Vérifier {P_7(0,5)\simeq1,6487211681547618}.2. (b) [P] Réécrire
P sans puissances ni factorielles, en utilisant l’écriture emboîtée {P_5(x)=1+x\left(1+\frac x2\left(1+\frac x3\left(1+\frac x4(1+x/5)\right)\right)\right)}2. (c) [P] Écrire
w(n) et tracer les points {(n,w_n)} pour {1\leq n\leq40}.Pour {n\geq1} et {x\in[0,1]}, posons {\begin{array}{l}g_n(x)=e^{-x}(1+x/n)^{n+1}\\[4pt]f_n(x)=1+\dfrac xn-\dfrac{x^2}{2n}-\dfrac{x^3}{6n^2}+\dfrac{x^4}{8n^2}\end{array}}
3. (a) Montrer que {f_n} est strictement positive sur {[0,1]}.
3. (b) Simplifier {g_n'/g_n} et factoriser {f_n'}.
3. (c) En déduire {\frac{g_n'}{g_n}-\frac{f_n'}{f_n}=\frac{x^3(3x+8)(1-x)}{24n^2(n+x)f_n(x)}}
3. (d) Montrer que {g_n(x)\geq f_n(x)} pour {n\geq1} et {x\in[0,1]}.
3. (e) En déduire {\int_0^1g_n(x)\,dx\geq1+\frac1{3n}-\frac1{60n^2}}
Les trois questions suivantes sont indépendantes.
4. (a) [P?] Montrer que {e^{-1}(1+1/n)^n\geq1-1/(2n)} pour {n\geq1}. Indication : poser {\varphi(x)=x\ln(1+1/x)-1-\ln(1-1/(2x))}sur {[1,+\infty[}, et factoriser {\varphi''}.
4. (b) Montrer que {e^{-n}P_n(n)=1-\int_0^ne^{-x}x^n/n!\,dx}. Indication : considérer {P_n-P_n'}.
4. (c) Montrer que {\int_0^ne^{-x}\left(\frac{x^n}{n!}-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right)dx=\frac{n^{n+1}e^{-n}}{(n+1)!}}
5. (a) En utilisant 4 (b) et 4 (c), montrer que {\begin{array}{rl}w_{n+1}-w_n=&\dfrac{n^ne^{-n}}{2n!}-\dfrac{(n+1)^{n+1}e^{-n-1}}{2(n+1)!}\\[4pt]&+\dfrac{n^{n+1}e^{-n}}{(n+1)!}-\displaystyle\int_n^{n+1}\frac{e^{-x}x^{n+1}}{(n+1)!}\,dx\end{array}}
5. (b) Par une translation dans l’intégrale, montrer que {\begin{array}{l}w_{n+1}-w_n=\dfrac{e^{-n}n^n}{2n!}\left[1-e^{-1}(1+1/n)^n\right.\\[4pt]\displaystyle\hspace{18mm}\left.+\frac{2n}{n+1}-\frac{2n}{n+1}\int_0^1g_n(x)\,dx\right]\end{array}}
5. (c) [P?] À l’aide de 3 (e) et 4 (a), montrer que {w_{n+1}-w_n\leq\frac{e^{-n}n^n}{(n+1)!}\frac{16-5n}{60n}}En déduire que {(w_n)_{n\geq1}} est décroissante.