La suite {(a_n)} est définie par trois réels non nuls {a_0,a_1,a_2} et {a_{n+3}=\frac1{a_{n+2}}\left(11+\frac{18}{a_{n+1}}+\frac8{a_na_{n+1}}\right)}On suppose qu’elle est bien définie, avec {a_n\ne0} pour tout {n}. Les questions [P] utilisent Python.
1. (a) [P] Écrire
f(x,y,z) calculant {(11+18/y+8/(xy))/z}.1. (b) Déterminer la suite lorsque {a_0=a_1=a_2\in\{-2,-1,4\}}.
2. (a) [P] Écrire
suite(n,a0,a1,a2), renvoyant les {n} premiers termes pour {n\geq3}. Vérifier le résultat pour suite(8,1,2,3).2. (b) [P] Écrire
plotseq(n,a0,a1,a2), traçant la ligne polygonale des points {(k,a_k)} pour {0\leq k\lt n}.3. (a) Avec {a_0=-2}, {a_1=-3/2}, {a_2=-4/3}, montrer que {a_n=-(n+2)/(n+1)}. [P] Tracer les 25 puis les 50 premiers termes. Que remarque-t-on ?
3. (b) Avec {a_0=-3/2}, {a_1=-5/3}, {a_2=-9/5}, montrer que {a_n=-(2^{n+1}+1)/(2^n+1)}. [P] Tracer les 40 puis les 80 premiers termes. Que remarque-t-on ?
Dans la question 4, on n’utilise pas Python. On revient à des données initiales quelconques admissibles et l’on pose {u_0=1}, {u_{n+1}=a_nu_n}.
4. (a) Préciser la relation de récurrence linéaire satisfaite par {(u_n)}.
4. (b) Pour {U_n=(u_{n+3},u_{n+2},u_{n+1},u_n)^T}, déterminer {B} telle que {U_{n+1}=BU_n}.
4. (c) Calculer {\chi_B}. Déterminer {P} telle que {B=PTP^{-1}}, avec {T=\begin{pmatrix}4&0&0&0\\[4pt]0&-2&0&0\\[4pt]0&0&-1&1\\[4pt]0&0&0&-1\end{pmatrix}}
4. (d) En déduire une expression de {u_n}, puis de {a_n}, dépendant de quatre constantes. Expliquer les instabilités observées en 3.